vektoriális szorzat

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈvɛktorijaːliʃsorzɒt]

Főnév

vektoriális szorzat

1. (matematika, lineáris algebra)

A vektoriális szorzat (más néven külső szorzat vagy keresztszorzat) háromdimenziós vektorokkal végzett olyan művelet, amelynek eredménye egy vektor. Míg a vektorok (és a rajtuk végzett műveletek közül például a skaláris szorzat) általánosíthatók több dimenzióra, a vektoriális szorzatot csak 3 dimenziós térben értelmezzük (7 dimenziós esetben is létezik vektoriális szorzat, ami azonban kevésbé használatos).

Jelölése: a×b vagy [ab] (szóban: a kereszt b)

Értelmezése:

$|\mathbf {c} |=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin(\theta )$

1. Az eredményvektor nagysága (abszolútértéke, hossza) a két vektor hosszának és a közbezárt szögük szinuszának szorzata (0° ≤ θ ≤ 180°).
2. Az eredményvektor állása merőleges mind a-ra, mind b-re (az a és b vektorok síkjára).
3. Az eredményvektor iránya olyan, hogy az a, b és c jobbsodrású vektorrendszert alkot.

(Egy a, b, c vektorrendszert akkor hívunk jobbsodrásúnak, ha a jobb kezünk beállítható úgy, hogy hüvelykujjunk a-val, mutatóujjunk b-vel, középső ujjunk pedig (az előbbi két ujjunkra merőlegesen) c-vel azonos irányba mutat.)

Derékszögű koordináta-rendszerben a c eredményvektor koordinátáit a következőképp kapjuk a és b koordinátáiból:

$c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}$

$c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}$

$c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$

Ha elképzelünk egy paralelogrammát, aminek szomszédos oldalait az a és b vektorok alkotják, akkor a×b nagysága (tehát az eredményvektor hossza) éppen megegyezik a két vektor által kifeszített paralelogramma területével.

Két vektor vektoriális szorzata akkor és csak akkor nullvektor, ha párhuzamos állásúak, hiszen ekkor a bezárt 0° vagy 180°, amiknek szinusza 0. Akkor lesz leghosszabb az eredményvektor, ha derékszögben állnak egymáshoz képest az összeszorzandó vektorok (mert 90° szinusza 1).

Fordítások

• angol: vector product (en), cross product (en)
• francia: produit vectoriel (fr)
• német: Vektorprodukt (de), Kreuzprodukt (de)
• orosz: векторное произведение (ru) (vektornoje proizvedenije)

Lásd még

• vektorművelet