Brahmagupta

Angol

Főnév

Brahmagupta (tsz. Brahmaguptas)

(informatika) Brahmagupta (598 – körülbelül 668) indiai matematikus és csillagász volt, akinek művei forradalmasították a matematika és az asztronómia területeit az indiai szubkontinensen, és később az iszlám világon keresztül Európára is hatással voltak. A legismertebb munkája a Brāhmasphuṭasiddhānta (शुद्ध ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त), amely 628-ban íródott, és amely az első fennmaradt forrás, amelyben a nulla matematikai számként jelenik meg, meghatározott műveletekkel. Ez az írás kulcsfontosságú szerepet játszott a modern aritmetika és algebra kialakulásában.

Élete

Brahmagupta valószínűleg Bhillamāla (ma Bhinmal, Rádzsasztán állam, India) városában született egy bráhmin (értelmiségi papi) családba. Élete során a csillagászat egyik legfontosabb központjában, az Ujjain obszervatóriumban tevékenykedett, amely az ókori India egyik legjelentősebb tudományos műhelye volt.

A dátumokat saját korának rendszerében, a Shaka korszak szerint jegyezte fel. Fő műve 550 Shaka évben íródott, ami 628 CE-nek felel meg.

Fő művei

Brāhmasphuṭasiddhānta (628) – matematikai és csillagászati alaptankönyv
Khaṇḍakhādyaka (665) – elsősorban asztronómiai számításokra fókuszáló mű

Ezek a művek szanszkrit nyelven, versformában íródtak, ahogy az abban a korban szokás volt.

A nulla mint szám

Brahmagupta elsőként írta le a nullát külön számként, és meghatározta vele való műveletek szabályait. Ezek közül néhány:

a + 0 = a
a − 0 = a
a × 0 = 0

Érdekes módon a 0 osztva 0-val kérdésére hibás választ adott: szerinte ez 0/0 = 0, míg ma tudjuk, hogy ez nem értelmezett.

Ennek ellenére ez volt az első rendszeres kísérlet a zéró matematikai formalizálására, amellyel messze megelőzte korát.

Negatív számok

Brahmagupta újító módon foglalkozott negatív számokkal, amelyek addig nem voltak elfogadott részei a matematikának. Ezeket „adósságként” értelmezte, míg a pozitív számokat „tulajdonként”.

Például:

„Adósság mínusz tulajdon = adósság”
„Adósság szorozva adóssággal = tulajdon”

Ez a gazdasági eredetű értelmezés segített bevezetni a negatív számok fogalmát a gyakorlatba.

Algebrai szabályai

Brahmagupta egyike volt az első olyan tudósoknak, akik szimbolikus algebrai műveleteket fogalmaztak meg. Ismert a másodfokú egyenletek megoldóképlete, amelyet már ő is alkalmazott, még ha nem is a ma ismert szimbolikával.

Adott egy egyenletet a következő formában:

$ax^{2}+bx=c$

És ehhez egy megoldóképletet:

$x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}$

Ez a ma ismert megoldóképlet korai változata, és jól mutatja, hogy Brahmagupta már algebrai absztrakciót alkalmazott.

Diophantosz és Brahmagupta

Noha Diophantosz (görög matematikus) is írt már algebrai problémákról a 3. században, Brahmagupta művei szisztematikusabbak és teljesebbek voltak, különösen a negatív számokkal és nullával való műveletek terén. Ő volt az első, aki általános érvényű szabályokat adott meg minden eset kezelésére.

Számelmélet

Brahmagupta foglalkozott törtekkel, legnagyobb közös osztóval, valamint megadta összegzési képleteket:

Az első n szám összege:

${\frac {n(n+1)}{2}}$
Az első n négyzetszám összege:

${\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Továbbá vizsgálta a négyzetszámként előálló egész megoldásokat bizonyos Diofantoszi típusú egyenletekben.

Pell-egyenlet

Brahmagupta híres megfigyelése volt az, hogy az egyenlet:

$x^{2}-Ny^{2}=1$

egész megoldásait egy adott megoldásból újabb megoldások generálásával lehet előállítani – ezt ma Brahmagupta-féle identitásnak hívjuk.

Ez alapozta meg a Pell-egyenlet módszeres indiai megközelítését, jóval az európai alkalmazás előtt.

Brahmagupta identitása

Brahmagupta felfedezett egy algebrai azonosságot, amely a szorzás alatti zárt tulajdonságot írja le bizonyos formájú számokra:

Ha:

$x^{2}-Ny^{2}=a\quad {\text{és}}\quad u^{2}-Nv^{2}=b$

akkor:

$(xu+Nyv)^{2}-N(xv+yu)^{2}=ab$

Ez a kompozíció szabály fontos szerepet játszott a számelmélet fejlődésében.

Csillagászat

Brahmagupta csillagászként is rendkívül termékeny volt. A Brāhmasphuṭasiddhānta második fele csillagászati megfigyeléseket, számítási módszereket tartalmazott:

Bolygópályák mozgása
Nap- és holdfogyatkozások előrejelzése
Napi időmeghatározás a Nap pozíciója alapján

Brahmagupta szinuszfüggvényeket és trigonometriai táblázatokat is használt, amelyek elősegítették a bolygómozgások pontosabb kiszámítását.

Hatása az iszlám világra és Európára

A 8. században a Brāhmasphuṭasiddhāntát Mohamed al-Fazári és más arab tudósok lefordították arab nyelvre. Innen került át a Brahmagupta-féle számolási módszer és a nulla fogalma az iszlám világon keresztül az Ibériai-félszigetre, majd Európába.

Ez kulcsszerepet játszott az indo-arab számrendszer elterjesztésében, amely ma is használt tízes alapú számrendszerünk alapja.

Öröksége

Brahmagupta öröksége rendkívüli:

Ő az egyik első matematikus, aki teljes aritmetikai rendszert definiált nullával és negatív számokkal.
Algebrai szabályai megelőzték az európai fejlődést legalább fél évezreddel.
Az indiai matematikai iskola kiemelkedő alakja, aki megalapozta Bhāskara II és más későbbi csillagász-matematikusok munkáját.
Részletesen foglalkozott valós számok, törtek, négyzetgyökök, mértani haladványok és időszámítási módszerek elméletével.

Összegzés

Brahmagupta a matematika történetének egyik legnagyobb úttörője, aki korát messze megelőzve lefektette a modern algebra és aritmetika alapjait. Az ő nevéhez fűződik a nulla mint szám bevezetése, a negatív számok kezelése, és a számelméleti azonosságok első formális megfogalmazása.

Munkássága évszázadokon átívelő hatással volt a matematikai gondolkodás fejlődésére – Indiától az iszlám világon át a reneszánsz Európáig. Brahmagupta nemcsak tudós, hanem szellemi hídként is szolgált kultúrák és korszakok között.

További információk

Brahmagupta - Szótár.net (en-hu)
Brahmagupta - Sztaki (en-hu)
Brahmagupta - Merriam–Webster
Brahmagupta - Cambridge
Brahmagupta - WordNet
Brahmagupta - Яндекс (en-ru)
Brahmagupta - Google (en-hu)
Brahmagupta - Wikidata
Brahmagupta - Wikipédia (angol)