Ugrás a tartalomhoz

Paul Cohen

A Wikiszótárból, a nyitott szótárból
(Cohen szócikkből átirányítva)

Angol


Főnév

Paul Cohen (tsz. Paul Cohens)

  1. (informatika) Paul Joseph Cohen (1934–2007) amerikai matematikus, aki elsősorban a halmazelméletben elért forradalmi eredményeiről ismert. Legnagyobb hozzájárulása a matematika történetéhez az volt, hogy megoldotta a híres kontinuumhipotézis függetlenségi problémáját, és ezzel megváltoztatta a matematikai igazság természetéről alkotott nézeteket.


Korai élete és tanulmányai

Paul Cohen New Jersey államban született, zsidó származású családban. Kezdetben érdekelte a zene és a fizika is, de végül a matematika mellett döntött. Tanulmányait a University of Chicago-n kezdte, majd doktori fokozatát a University of Chicago-n szerezte 1958-ban, ahol elsősorban harmonikus analízissel foglalkozott.


A híres probléma – A kontinuumhipotézis

A kontinuumhipotézis (CH) egy Georg Cantor által 1878-ban felvetett probléma, amely így szól:

“Van-e olyan halmaz, amelynek számossága nagyobb, mint a természetes számoké, de kisebb, mint a valós számoké?”

Ez a kérdés hosszú ideig a matematika egyik legnagyobb rejtélye volt. A halmazelmélet, amely az összes matematika alapját képezi, a Zermelo–Fraenkel axiómarendszerre (ZF), valamint a kiválasztási axiómára (AC) épül. Ezen keretrendszerben próbálták eldönteni a CH igazságát.

Kurt Gödel már 1940-ben megmutatta, hogy a CH nem cáfolható a ZFC-ből (vagyis ha ZFC konzisztens, akkor a ZFC + CH is konzisztens).


Cohen forradalmi módszere: a kényszerítés (forcing)

Paul Cohen 1963-ban azonban megdöbbentő eredményt publikált: a kontinuumhipotézis nem is bizonyítható a ZFC-ből.

Ez azt jelenti, hogy a ZFC axiómarendszer sem nem cáfolja, sem nem bizonyítja a CH-t — azaz független tőle. Ez volt az első valódi függetlenségi bizonyítás a matematika történetében, amelyet nem Gödel-módszereivel, hanem egy új, saját maga által kifejlesztett technikával végzett.

Ez a technika az úgynevezett forcing (kényszerítés) volt. E módszer segítségével Cohen meg tudta konstruálni olyan modelljeit a halmazelméletnek, amelyekben a CH nem igaz, noha minden ZFC-axióma teljesül.

Ezzel megmutatta:

  • Gödel: CH nem cáfolható ZFC-ből
  • Cohen: CH nem bizonyítható ZFC-ből → Következmény: CH független ZFC-től


A hatás

Ez az eredmény mély filozófiai következményekkel járt. A matematikusok és logikusok kénytelenek voltak szembenézni azzal a ténnyel, hogy egy olyan természetesnek tűnő állítás, mint a CH, nem eldönthető az általánosan elfogadott matematikai axiómarendszerekben. Ez hasonló súlyú felfedezés volt, mint Gödel nemteljességi tételei.

A forcing-módszer hamar alapeszközzé vált a halmazelméletben, és más területeken is megjelent, például modellelméletben és topológiában.


Díjak és elismerések

Paul Cohen 1966-ban elnyerte a Fields-éremet, amit gyakran a „matematikai Nobel-díjként” emlegetnek. Ő volt az első, aki logikai eredményért kapta meg ezt a kitüntetést. Emellett elnyerte az amerikai National Medal of Science díjat is, és több matematikai társaság tiszteletbeli tagja lett.


Tudományos érdeklődés más területeken

Bár Cohen neve elsősorban a halmazelmélettel fonódik össze, más matematikai területeken is jelentős volt a munkássága. Például:

  • Analízis: harmonikus analízisben kezdte pályafutását.
  • Számelmélet: később a prímszámok eloszlásával is foglalkozott.
  • Oktatás: a Stanford Egyetemen dolgozott hosszú ideig, és tanítványaiból számos kiváló matematikus került ki.


Személyisége és filozófiája

Paul Cohen híres volt eredetiségéről és filozófiai érdeklődéséről. Nem fogadta el vakon a matematikai „tekintélyeket” vagy dogmákat, hanem saját útját járta. Erősen hitt abban, hogy a matematikai igazság nem feltétlenül abszolút, hanem modellfüggő lehet — ezt demonstrálta a CH függetlenségével is.


Halála és öröksége

Cohen 2007-ben hunyt el. Munkássága azonban ma is élő és aktívan kutatott területeket alapozott meg.

Öröksége három pillérből áll:

  1. A forcing-módszer: mára szinte minden halmazelméleti kutatás eszköztárába tartozik.
  2. A függetlenségi eredmények: megmutatta, hogy még a legmélyebb matematikai kérdések is lehetnek eldönthetetlenek.
  3. A gondolkodás szabadsága: Cohen példája azt mutatta, hogy az intuíció és a bátorság képes forradalmasítani egy teljes területet.


Összefoglalás

Paul Cohen nemcsak egy rendkívüli technikai újítással gazdagította a matematikát, hanem megkérdőjelezte a matematika objektív igazságának fogalmát. A kontinuumhipotézis függetlenségének bizonyítása révén új korszakot nyitott a logikában és halmazelméletben. Munkássága ma is alapvető hatással van a matematika filozófiájára és axiomatikus felépítésére.


További információk

A lap eredeti címe: „https://hu.wiktionary.org/w/index.php?title=Paul_Cohen&oldid=3503846”