discrete Fourier transform

Angol

Főnév

discrete Fourier transform (tsz. discrete Fourier transforms)

1. (informatika) diszkrét Fourier-transzformáció

---

A diszkrét Fourier-transzformáció (angolul Discrete Fourier Transform, röviden DFT) egy alapvető algoritmus a jel- és adatfeldolgozásban, amely egy diszkrét, időbeli jelet frekvencia-komponensekre bont. A DFT lehetővé teszi, hogy egy jelet a frekvenciatartományban elemezzünk, ami különösen hasznos hang-, kép- és jelfeldolgozásban, valamint tudományos számításokban.

---

🧮 Definíció

Legyen ${\textstyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}}$ egy diszkrét időbeli jel ${\textstyle N}$ mintával. A DFT definíciója:

$$X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cdot e^{-2\pi i{\frac {kn}{N}}}\quad {\text{ahol }}k=0,1,\ldots ,N-1$$

Itt:

• ${\textstyle x_{n}}$: bemeneti minta (időtartományban)
• ${\textstyle X_{k}}$: kimeneti minta (frekvenciatartományban)
• ${\textstyle e^{-2\pi i{\frac {kn}{N}}}}$: komplex „forgató” faktor, azaz Fourier-bázis

---

🔁 Inverz DFT

A visszaalakítás (IDFT – Inverse Discrete Fourier Transform):

$$x_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}\cdot e^{2\pi i{\frac {kn}{N}}}\quad {\text{ahol }}n=0,1,\ldots ,N-1$$

---

⚡ Gyorsabb változat: FFT

A Fast Fourier Transform (FFT) egy hatékony algoritmus a DFT gyors kiszámítására:

• Klasszikus DFT időkomplexitása: ${\textstyle O(N^{2})}$
• FFT komplexitása: ${\textstyle O(N\log N)}$

---

📊 Alkalmazások

Terület	Használat
Audiófeldolgozás	Frekvenciaspektrum elemzés, zajszűrés
Képfeldolgozás	Kompresszió (pl. JPEG), szűrés
Távközlés	OFDM moduláció, spektrumelemzés
Méréstechnika	Rezgéselemzés, spektrumvizsgálat
Gépi tanulás	Idősoros jellemzők kinyerése (feature extraction)

---

📉 Példa Pythonban

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Példa jel (szinusz)
N = 100
t = np.linspace(0, 1, N)
x = np.sin(2 * np.pi * 5 * t)

# DFT számítása (FFT-vel)
X = np.fft.fft(x)

# Frekvenciák és amplitúdók
freqs = np.fft.fftfreq(N, d=t[1]-t[0])
amplitudes = np.abs(X) / N

plt.plot(freqs, amplitudes)
plt.title("DFT – Frekvenciaspektrum")
plt.xlabel("Frekvencia (Hz)")
plt.ylabel("Amplitúdó")
plt.grid()
plt.show()

---

🔍 Összefoglalás

• A DFT frekvenciaelemzésre szolgál.
• Komplex számokat ad vissza (amplitúdó + fázis).
• Alapja a jel- és képfeldolgozásnak.
• FFT használatával nagyon gyorsan számítható.

További információk

• discrete Fourier transform - Szótár.net (en-hu)
• discrete Fourier transform - Sztaki (en-hu)
• discrete Fourier transform - Merriam–Webster
• discrete Fourier transform - Cambridge
• discrete Fourier transform - WordNet
• discrete Fourier transform - Яндекс (en-ru)
• discrete Fourier transform - Google (en-hu)
• discrete Fourier transform - Wikidata
• discrete Fourier transform - Wikipédia (angol)