Hadamard-szorzat

Magyar

Kiejtés

IPA: [ ˈhɒdɒmɒrtsorzɒt]

Főnév

(matematika)

A Hadamard-szorzat (vagy elemenkénti szorzás) egy mátrixművelet, amely két azonos méretű mátrixot összeszoroz úgy, hogy az eredmény mátrix egyes elemei az eredeti mátrixok megfelelő elemeinek szorzatai lesznek. Ez a művelet nem keverendő össze a mátrixszorzással, amely mátrixalgebrában használatos.

📌 Definíció

A Hadamard-szorzat két azonos dimenziójú mátrix között értelmezett művelet, amely során a szorzás az egyes elemek között történik, nem a sor- és oszlopösszegek alapján, mint a hagyományos mátrixszorzásban.

🧮 Formális leírás

Legyen ${\textstyle A=[a_{ij}]}$ és ${\textstyle B=[b_{ij}]}$ két azonos méretű, ${\textstyle m\times n}$ -es mátrix. A Hadamard-szorzatot így jelöljük:

$A\circ B=[a_{ij}\cdot b_{ij}]$

Azaz:

$(A\circ B)_{ij}=a_{ij}\cdot b_{ij}\quad \forall i,j$

🔢 Példa

Legyen:

$A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}}$

A Hadamard-szorzatuk:

$A\circ B={\begin{bmatrix}1\cdot 5&2\cdot 6\\3\cdot 7&4\cdot 8\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&12\\21&32\end{bmatrix}}$

🎯 Alkalmazási területek

Gépi tanulás és mélytanulás: pl. neuronhálók súlyainak frissítésében.
Jelfeldolgozás: különböző szűrők alkalmazásánál.
Statisztika: kovariancia mátrix elemenkénti kezelése.
Numerikus módszerek: mátrixműveletek gyors végrehajtása SIMD vagy GPU használatával.
Képfeldolgozás: képpontok maszkolása, szűrések.

🔄 Hadamard vs Mátrixszorzás

Tulajdonság	Hadamard-szorzat	Mátrixszorzás
Méretfeltétel	Azonos méretű mátrixok	B oszlopszáma = A sorszáma
Művelet	Elemenkénti szorzás	Sor-oszlop szorzatok összege
Jelölés	${\textstyle A\circ B}$	${\textstyle AB}$ vagy ${\textstyle A\cdot B}$
Kommutatív	✔️	❌ (általában nem)
Asszociatív	✔️	❌ (általában nem)

📐 Tulajdonságai

Kommutatív: ${\textstyle A\circ B=B\circ A}$
Asszociatív: ${\textstyle A\circ (B\circ C)=(A\circ B)\circ C}$
Disztributív a mátrixösszeadásra nézve:

$A\circ (B+C)=A\circ B+A\circ C$
Skalárral való szorzás:

$\alpha (A\circ B)=(\alpha A)\circ B=A\circ (\alpha B)$
Nem invertálható általában, még akkor sem, ha minden elem ≠ 0.

💻 Implementáció

C++

vector<vector<int>> hadamard(const vector<vector<int>>& A, const vector<vector<int>>& B) {
    int m = A.size(), n = A[0].size();
    vector<vector<int>> result(m, vector<int>(n));
    for (int i = 0; i < m; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            result[i][j] = A[i][j] * B[i][j];
    return result;
}

Python (NumPy)

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

C = A * B  # Hadamard product

MATLAB

A = [1 2; 3 4];
B = [5 6; 7 8];
C = A .* B;  % Hadamard-szorzat

🔗 Kapcsolódó fogalmak

Schur-szorzat: szinonim a Hadamard-szorzattal.
Frobenius norm: ${\textstyle \|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i,j}a_{ij}^{2}}}}$ , szoros kapcsolatban a Hadamard-szorzattal.
Tenzorszorzat: teljesen más művelet, ne keverd!
Convolution: nem azonos a Hadamard szorzattal; másfajta elemi művelet.
Képmátrix maszkolás: gyakran Hadamard-szorzatot használ.

📚 Összefoglalás

A Hadamard-szorzat egy alapvető mátrixművelet, amely hasznos adatelemzés, gépi tanulás, jelfeldolgozás és képfeldolgozás során. Egyszerű és hatékony, különösen element-wise műveletekhez. Bár nem pótolja a mátrixszorzást algebrai értelemben, sok algoritmus szempontjából kulcsfontosságú eszköz.

Fordítások

Tartalom

angol: Hadamard product (en)

További információk

Hadamard-szorzat - Értelmező szótár (MEK)
Hadamard-szorzat - Etimológiai szótár (UMIL)
Hadamard-szorzat - Szótár.net (hu-hu)
Hadamard-szorzat - DeepL (hu-de)
Hadamard-szorzat - Яндекс (hu-ru)
Hadamard-szorzat - Google (hu-en)
Hadamard-szorzat - Helyesírási szótár (MTA)
Hadamard-szorzat - Wikidata
Hadamard-szorzat - Wikipédia (magyar)