Heron's formula

Angol

Főnév

Heron's formula (tsz. Heron's formulas)

(informatika) Hérón-képlet

A Heron-képlet az egyik legismertebb és legpraktikusabb geometriai formula, amely lehetővé teszi egy háromszög területének kiszámítását, ha ismerjük mindhárom oldalának hosszát. Nevét Heron (vagy Hero) alexandriai matematikusról kapta, aki a Kr. u. 1. században élt, és az ókori világ egyik legkiválóbb mérnök-tudósa volt.

Ez a képlet különösen hasznos, mert nem igényli a magasság vagy szögek ismeretét, pusztán az oldalak hosszát.

1. A Heron-képlet

Legyen adott egy háromszög, amelynek oldalai:

${\textstyle a}$ ,
${\textstyle b}$ ,
${\textstyle c}$

A háromszög területét így számítjuk ki Heron képlete alapján:

Számoljuk ki a kerület felét, azaz a félkerületet:

$s={\frac {a+b+c}{2}}$

A háromszög területe:

$T={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

Ez a képlet a területet kizárólag a három oldal hosszának függvényében adja meg.

2. Példa

Legyen a háromszög oldalai:

${\textstyle a=7}$ ,
${\textstyle b=8}$ ,
${\textstyle c=9}$

Félkerület:

$s={\frac {7+8+9}{2}}={\frac {24}{2}}=12$

Terület:

$T={\sqrt {12(12-7)(12-8)(12-9)}}={\sqrt {12\cdot 5\cdot 4\cdot 3}}={\sqrt {720}}\approx 26{,}83$

3. Történelmi háttér – Heron Alexandriából

Heron Alexandriából (görögül: Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεύς) az 1. században élt, és sokféle tudományos területen tevékenykedett: mechanika, geometria, fizika, mérnöki tudomány, automaták és méréstechnika.

Fő műve, a “Metrika” (Μετρική), az egyik legkorábbi fennmaradt geometriai kézikönyv, amelyben területek, térfogatok és egyéb mértékek kiszámítását tárgyalja. A Heron-képlet ebben a műben szerepel, bár maga a képlet valószínűleg korábbi eredetű, és akár Archimédészig vagy indiai forrásokig is visszavezethető.

Heron viszont rendszerezte, közérthetővé tette és alkalmazta – ezért kapcsolják hozzá a képletet.

4. Alkalmazhatóság és előnyei

A Heron-képlet előnyei:

Nem kell ismerni a háromszög magasságát.
Bármilyen típusú háromszögre (hegyesszögű, tompaszögű, derékszögű) alkalmazható.
Különösen mérnöki számításoknál vagy számítógépes geometriai algoritmusokban hasznos, amikor csak az oldalak adottak.

5. Derékszögű háromszög esetén

A Heron-képlet természetesen derékszögű háromszögre is működik, de ott egyszerűbb képlet is használható:

$T={\frac {ab}{2}}$

ahol ${\textstyle a}$ és ${\textstyle b}$ a derékszög két befogója. Ennek ellenére a Heron-képlet ugyanazt az eredményt adja vissza.

6. Összehasonlítás más területképletekkel

Magasság ismeretében:

$T={\frac {1}{2}}\cdot {\text{alap}}\cdot {\text{magasság}}$

Két oldal és a közbezárt szög ismeretében:

$T={\frac {1}{2}}ab\sin(C)$

Ezekkel szemben a Heron-képlet csak az oldalhosszakat igényli, így szögmérő eszköz nélkül is használható.

7. Trigonometrikus levezetés (vázlatosan)

Bár Heron valószínűleg nem trigonometrikus módszerrel vezette le a képletet, ma a szinusztétel és a koszinusztétel segítségével matematikailag levezethető:

Használjuk a következőt:

$T={\frac {1}{2}}ab\sin(C)$

A koszinusztételből:

$\cos(C)={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\Rightarrow \sin ^{2}(C)=1-\cos ^{2}(C)$

Ezek behelyettesítésével hosszú számolással eljutunk a Heron-formulához.

Ez a levezetés mutatja, hogy a Heron-képlet rejtve tartalmazza a trigonometriai viszonyokat is, mégis tisztán algebrai formában.

8. Kiterjesztések

A Heron-képlet általánosítható n-szögű síkidomokra, ha azokat háromszögekre bontjuk. Ekkor a Heron-képlet minden háromszögre külön-külön alkalmazható, és az összeadott területek adják a teljes alakzat területét.

Továbbá, létezik Brahmagupta-képlet, amely a Heron-formula négyszögekre történő kiterjesztése – de csak ciklikus négyszögekre (olyan négyszög, amely köré kör írható).

9. Numerikus stabilitás és számítógépes alkalmazás

A Heron-képlet használata numerikus számításoknál (pl. számítógépes grafikában) pontatlanságot eredményezhet, ha az oldalak hossza nagyon közel áll egymáshoz – mivel a négyzetgyökvonás és kivonások miatt lebegőpontos hibák jelentkezhetnek.

Emiatt a számítógépes implementációban érdemes:

stabilabb képleteket használni (pl. Kahan-féle változat),
vagy az oldalhosszakat előzetesen rendezni (legkisebb, közepes, legnagyobb).

10. Összefoglalás

A Heron-képlet a geometria egy kiemelkedően elegáns és praktikus eszköze. Egyszerűsége és sokoldalúsága miatt több mint kétezer éve alkalmazzák. Megmutatja, hogy a geometriai problémák algebrai módszerekkel is megoldhatók.

A képlet:

$T={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

ahol ${\textstyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$ – az oldalhosszok ismeretében bármely háromszög területét kiszámíthatjuk.

TL;DR

A Heron-képlet a háromszög területének meghatározására szolgál kizárólag az oldalak ismeretében. Képlete:

$s={\frac {a+b+c}{2}},\quad T={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

Nevét Heron alexandriai tudóstól kapta, aki Kr. u. 1. században élt. A képlet ma is fontos eszköz a geometriában, építészetben, térinformatikában és programozásban.

További információk

Heron's formula - Szótár.net (en-hu)
Heron's formula - Sztaki (en-hu)
Heron's formula - Merriam–Webster
Heron's formula - Cambridge
Heron's formula - WordNet
Heron's formula - Яндекс (en-ru)
Heron's formula - Google (en-hu)
Heron's formula - Wikidata
Heron's formula - Wikipédia (angol)