Laplace-transzformáció

Magyar

Kiejtés

IPA: [ ˈlɒplɒt͡sɛtrɒnsformaːt͡sijoː]

Főnév

(matematika) A Laplace-transzformáció egy olyan függvénytranszformáció, aminek révén egyes függvényekkel kapcsolatos problémákra kaphatunk egyszerűen választ. Eredetileg Heaviside fejlesztette ki a differenciálegyenletek megoldásához segédeszközként.

Definíció: Legyen $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$ függvény, mely minden t≥0 valós számra értelmezett. A függvény Laplace-transzformáltjának nevezzük az

F(s)=\int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t

függvényt. A transzformált létezésének feltétele, hogy a definícióban szereplő integrál véges legyen.

Ha a transzformált létezik és véges, akkor $f(t)$ -t generátorfüggvénynek nevezzük. A transzformált jelölése: $L[f]=F$

A transzformált létezésére elegendő feltétel, ha $f(t)$ a pozitív féltengelyen szakaszonként folytonos és exponenciálisan korlátos, azaz van olyan $M>0$ és $s_{0}$ valós szám, hogy az $f(t)\leq Me^{s_{0}t}$ egyenlőtlenség teljesül. Egészen pontosan a transzformált létezik minden olyan $s\in \mathbb {C}$ szám esetén, amire ${\mathfrak {Re}}(s)\geq s_{0}$ .