Liouville-tétel

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈlijouvilːɛteːtɛl]

Főnév

Liouville-tétel

1. (matematika)

Liouville-tétel

Definíció

A Liouville-tétel a komplex analízis egyik alapvető tétele, amely kimondja, hogy egy korlátos és teljes komplex függvény állandó.

Ha egy $f(z)$ komplex függvény teljes (azaz $\mathbb {C}$-ben mindenhol analitikus) és korlátos ($|f(z)|\leq M$, ahol $M$ egy pozitív konstans), akkor $f(z)$ állandó, azaz $f(z)=c$, ahol $c\in \mathbb {C}$.

Fontos Fogalmak

Teljes függvény

- Egy függvény teljes, ha az egész komplex síkon analitikus.

Korlátos függvény

- Egy $f(z)$ függvény korlátos, ha létezik egy $M>0$, hogy minden $z\in \mathbb {C}$-re $|f(z)|\leq M$.

Bizonyítás

1. Előkészítés

- Legyen $f(z)$ egy teljes és korlátos függvény, tehát $|f(z)|\leq M$ minden $z\in \mathbb {C}$-re.

2. Cauchy-integrál formula alkalmazása

- A Cauchy-integrál formula szerint, ha $f(z)$ analitikus egy tartományban, akkor bármely $z_{0}$ pontra a függvény értéke: $$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=R}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz,$$ ahol $R>0$, és a kör $|z-z_{0}|=R$ mentén vesszük az integrált.

3. Becsüljük meg az integrált

- Az $|f(z)|$ korlátosságát ($|f(z)|\leq M$) és a kör sugarát figyelembe véve: $$|f(z_{0})|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{|z-z_{0}|=R}{\frac {|f(z)|}{|z-z_{0}|}}\,|dz|.$$ - Mivel $|f(z)|\leq M$ és $|z-z_{0}|=R$, az integrál abszolút értéke: $$|f(z_{0})|\leq {\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {M}{R}}\cdot 2\pi R=M.$$

4. Határérték alkalmazása

- Vegyük a határt $R\to \infty$-ben. Ekkor az ${\frac {M}{R}}\to 0$, ami azt jelenti, hogy $f(z_{0})$ nem változhat $z_{0}$-tól függően.

5. Következtetés

- Ha $f(z_{0})$ bármely $z_{0}$ esetén ugyanazt az értéket veszi fel, akkor $f(z)$ állandó.

Példák

Példa 1: Állandó függvény

Legyen $f(z)=c$, ahol $c\in \mathbb {C}$. Ez nyilván teljes és korlátos ($|f(z)|=|c|$), és a tétel szerint $f(z)$ állandó.

Példa 2: Exponenciális függvény

Legyen $f(z)=e^{z}$. Ez teljes, de nem korlátos, mivel $|e^{z}|\to \infty$, ha $z\to \infty$. Így a tétel nem alkalmazható, és $f(z)$ nem állandó.

Fontos Következmények

1. Analitikus függvények tulajdonságai:

  - A tétel megmutatja, hogy az analitikus függvények nem lehetnek egyszerre korlátosak és nem állandók.

1. Maximumelv következménye:

  - A Liouville-tétel a komplex függvények maximumelvéből következik, amely szerint egy nem állandó analitikus függvény maximumát csak a tartomány határán érheti el.

1. Alkalmazás a számelméletben:

  - A Liouville-tétel fontos szerepet játszik a komplex analízis számos eredményében, például a Picard-tételek bizonyításában.

Összegzés

A Liouville-tétel egyszerű, mégis erőteljes eszköz a komplex analízisben. Megmutatja, hogy egy teljes és korlátos függvény csak állandó lehet. Ez a tétel számos további eredmény alapját képezi a komplex függvénytanban és a matematikai fizikában.

• angol: Liouville's theorem (en)

További információk

• Liouville-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Liouville-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Liouville-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Liouville-tétel - DeepL (hu-de)
• Liouville-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Liouville-tétel - Google (hu-en)
• Liouville-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Liouville-tétel - Wikidata
• Liouville-tétel - Wikipédia (magyar)