Lp space

Angol

Főnév

(informatika) Az ${\textstyle L^{p}}$ -tér a matematikai analízis, a valószínűségszámítás, a funkcionálanalízis, a parciális differenciálegyenletek, a Fourier-analízis és sok más terület alapvető fogalma. Ezek a terek általában integrálható függvények halmazai, amelyek egy bizonyos „ ${\textstyle p}$ ” hatvány szerinti normát viselnek.

A ${\textstyle p}$ lehet valós szám ${\textstyle \geq 1}$ , és az ${\textstyle L^{p}}$ -norma által mérjük, hogy „mekkora” a függvény a ${\textstyle p}$ -edik hatványú abszolút érték integrálja szerint.

Alapötlet

Tekintsünk egy mérhető teret ${\textstyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ , ahol:

${\textstyle X}$ a tér (pl. ${\textstyle \mathbb {R} }$ , ${\textstyle [0,1]}$ , vagy általános halmaz),
${\textstyle {\mathcal {A}}}$ az ${\textstyle X}$ részhalmazainak egy szigma-algebrája,
${\textstyle \mu }$ egy mérőfüggvény (pl. Lebesgue-mérték).

Legyen ${\textstyle f:X\to \mathbb {R} }$ (vagy ${\textstyle \mathbb {C} }$ ) egy mérhető függvény.

Ekkor mondjuk, hogy ${\textstyle f}$ az ${\textstyle L^{p}(X,\mu )}$ térbe tartozik, ha:

$\|f\|_{p}=\left(\int _{X}|f(x)|^{p}\,d\mu (x)\right)^{1/p}<\infty$

Itt ${\textstyle \|f\|_{p}}$ az ${\textstyle L^{p}}$ -norma.

Fontos:

${\textstyle p=1}$ : ${\textstyle L^{1}}$ — abszolút integrálható függvények.
${\textstyle p=2}$ : ${\textstyle L^{2}}$ — négyzetesen integrálható függvények (legfontosabb Hilbert-tér!).
${\textstyle p=\infty }$ : ${\textstyle L^{\infty }}$ — esszenciális felső korlátú függvények.

FORMÁLIS DEFINÍCIÓ

$L^{p}(X,\mu )=\left\{f:X\to \mathbb {R} {\text{ (vagy }}\mathbb {C} {\text{) mérhető}}\,{\big |}\,\int _{X}|f(x)|^{p}d\mu (x)<\infty \right\}$

Ahol ${\textstyle \mu }$ általában Lebesgue-mérték.
Az ${\textstyle L^{p}}$ -norma (vagy kvázinorma ${\textstyle 0<p<1}$ esetén) kvantifikálja a függvény „méretét” a ${\textstyle p}$ -edik hatványú integrál alapján.

${\textstyle L^{\infty }}$ -norma:

$\|f\|_{\infty }={\text{ess sup}}_{x\in X}|f(x)|$

Azaz: a legkisebb olyan ${\textstyle M}$ , amelyre a ${\textstyle |f(x)|\leq M}$ majdnem minden ${\textstyle x}$ -re.

MOTIVÁCIÓ

Miért tanulmányozzuk az ${\textstyle L^{p}}$ -tereket?

Analízis: Fourier-analízis, PDE-k, variációs kalkulus.
Valószínűségelmélet: véletlen változók momentumaival kapcsolatos tételek.
Numerikus analízis: különféle diszkretizációs technikák stabilitása.
Jelfeldolgozás: energia-mértékek ${\textstyle L^{2}}$ -normán keresztül.

TULAJDONSÁGOK

1️⃣ Lineáris tér

Az ${\textstyle L^{p}}$ -tér lineáris:

Ha ${\textstyle f,g\in L^{p}}$ , akkor ${\textstyle af+bg\in L^{p}}$ bármely ${\textstyle a,b\in \mathbb {R} }$ (vagy ${\textstyle \mathbb {C} }$ ) esetén.

2️⃣ Háromszög-egyenlőtlenség (Minkowski-egyenlőtlenség)

$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$

3️⃣ Hölder-egyenlőtlenség

Ha ${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$ , akkor:

$\left|\int _{X}f(x)g(x)\,d\mu (x)\right|\leq \|f\|_{p}\,\|g\|_{q}$

Ez kulcsfontosságú elem sok bizonyításban.

4️⃣ Kompletesség

Minden ${\textstyle L^{p}}$ -tér Banach-tér:

Minden Cauchy-sorozat konvergál az ${\textstyle L^{p}}$ -norma szerint.

Továbbá ${\textstyle L^{2}}$ Hilbert-tér is: van belső szorzat:

$\langle f,g\rangle =\int _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,d\mu (x)$

KÜLÖNLEGES ESETEK

${\textstyle L^{1}}$

Fizikai jelentés: teljes „mennyiség” vagy integrálja a függvénynek.
Használatos valószínűségi sűrűségfüggvényeknél.

${\textstyle L^{2}}$

Energia: ${\textstyle \|f\|_{2}^{2}}$ a függvény „energiája”.
A legfontosabb, mivel Hilbert-tér → lehet projektálni, Fourier-transzformálni.

${\textstyle L^{\infty }}$

Maximális amplitúdó (esszenciális felső korlát).

FONTOS TÉTELEK

Riesz-féle reprezentációs tétel

${\textstyle L^{2}}$ -térben: minden folytonos lineáris funkcionál egy belső szorzattal írható fel.

Dualitás

${\textstyle (L^{p})^{*}\simeq L^{q}}$ ha ${\textstyle 1<p<\infty }$ .
Ezért sokszor ${\textstyle L^{p}}$ tereket duálisan is tanulmányozzák.

KAPCSOLAT MÁS TEREKKEL

${\textstyle L^{p}}$ a Lebesgue-integráció elvén alapul.
${\textstyle C^{k}}$ -terek: folytonos függvények deriváltakkal.
${\textstyle L^{p}\subset L^{q}}$ ha ${\textstyle p\leq q}$ és a tér véges mértékű.

Beágyazási tételek

Sok Sobolev-tétel ${\textstyle L^{p}}$ -terekre épül.

ALKALMAZÁSOK

Fourier-analízis

Fourier-transzformált jól viselkedik ${\textstyle L^{2}}$ -ben.
${\textstyle L^{1}}$ → integrálható spektrum.

PDE-k

Sok PDE megoldása természetes módon ${\textstyle L^{p}}$ -térbe esik.

Gépi tanulás

Reprodukáló kernel Hilbert-terek (RKHS) gyakran ${\textstyle L^{2}}$ -struktúrán alapulnak.

Fizika

Kvantummechanikában az állapotfüggvények ${\textstyle L^{2}}$ -normáltak.

ÖSSZEFOGLALÁS

${\textstyle p}$ értéke	${\textstyle L^{p}}$ -norma jelentése
${\textstyle p=1}$	Teljes integrál (tömeg)
${\textstyle p=2}$	Energia / belső szorzat
${\textstyle p\to \infty }$	Maximális amplitúdó

ZÁRÓ GONDOLATOK

Az ${\textstyle L^{p}}$ -terek az absztrakt analízis egyik legfontosabb és legszebben strukturált elemei.

Univerzális: sokféle mérhető függvényt lefed.
Erős tulajdonságok: normázottság, teljesség, dualitás.
Alkalmazásorientált: PDE-k, Fourier-analízis, gépi tanulás, jelfeldolgozás.

Ha az ember egyszer elsajátítja az ${\textstyle L^{p}}$ -terek elméletét, rengeteg modern analízis-probléma könnyebben kezelhetővé válik.

További információk

Lp space - Szótár.net (en-hu)
Lp space - Sztaki (en-hu)
Lp space - Merriam–Webster
Lp space - Cambridge
Lp space - WordNet
Lp space - Яндекс (en-ru)
Lp space - Google (en-hu)
Lp space - Wikidata
Lp space - Wikipédia (angol)