Riemann integral

Angol

Főnév

Riemann integral (tsz. Riemann integrals)

1. (informatika) Riemann-integrál

---

A Riemann-integrál a matematikai analízis egyik központi fogalma, amely alkalmas a folytonos vagy szakaszonként folytonos függvények által határolt terület kiszámítására. Nevét a német matematikus, Bernhard Riemann után kapta, aki a 19. században formalizálta az integrál fogalmát. A Riemann-integrál legfontosabb célja az, hogy az ${\textstyle f(x)}$ függvény és az ${\textstyle x}$-tengely közötti területet meghatározza egy adott ${\textstyle [a,b]}$ intervallumon.

---

Intuitív szemlélet

A módszer lényege a következő: osszuk fel az ${\textstyle [a,b]}$ intervallumot kisebb részekre, és minden részintervallumon közelítsük az ${\textstyle f(x)}$ függvényt egy állandó értékkel, például az adott részintervallumban felvett mintapont értékével. Így téglalapok sorozatát kapjuk, amelyek közelítőleg lefedik a görbe alatti területet. Ha a felosztás finomságát növeljük, azaz a részek méretét csökkentjük, a kapott téglalapok területének összege egyre jobban megközelíti a valódi értéket.

---

Formális definíció

Legyen adott egy ${\textstyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ függvény. Válasszunk egy felosztást:

$$P=\{x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}\},\quad a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b.$$

Minden ${\textstyle i}$-edik részintervallumhoz válasszunk egy ${\textstyle \xi _{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}$ pontot, és képezzük a Riemann-összeget:

$$R(f,P,\xi )=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1}).$$

Ha létezik olyan ${\textstyle I\in \mathbb {R} }$, amelyre igaz, hogy

$$\lim _{\|P\|\to 0}R(f,P,\xi )=I,$$

akkor ${\textstyle f}$ Riemann-integrálható az ${\textstyle [a,b]}$ szakaszon, és az integrál értéke:

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=I.$$

---

Alsó és felső közelítések

Riemann az integrálhatóság kritériumait az alsó és felső közelítéseken keresztül is megfogalmazta. Egy adott felosztásra:

• az alsó összeg:

$$L(f,P)=\sum _{i=1}^{n}\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)\cdot (x_{i}-x_{i-1}),$$

• a felső összeg:

$$U(f,P)=\sum _{i=1}^{n}\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)\cdot (x_{i}-x_{i-1}).$$

Ha létezik olyan ${\textstyle I}$, hogy minden felosztáshoz ${\textstyle L(f,P)\leq I\leq U(f,P)}$, és ${\textstyle L(f,P)}$ és ${\textstyle U(f,P)}$ különbsége tetszőlegesen kicsivé tehető, akkor az ${\textstyle f}$ függvény Riemann-integrálható.

---

Példa: ${\textstyle f(x)=x^{2}}$ az ${\textstyle [0,1]}$ intervallumon

Vegyünk egyenlő hosszúságú felosztásokat:

• ${\textstyle \Delta x={\frac {1}{n}}}$,
• válasszuk a mintapontokat ${\textstyle x_{i}={\frac {i}{n}}}$ (jobboldali összeg),
• a közelítő összeg:

$$\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {i}{n}}\right)^{2}\cdot {\frac {1}{n}}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {1}{n^{3}}}\cdot {\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.$$

Ez határértékben:

$$\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}}={\frac {1}{3}}.$$

---

Tulajdonságok

• Lineáris: ${\textstyle \int _{a}^{b}(af(x)+bg(x))\,dx=a\int _{a}^{b}f(x)\,dx+b\int _{a}^{b}g(x)\,dx}$
• Additív: ${\textstyle \int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$
• Monoton: Ha ${\textstyle f(x)\leq g(x)}$, akkor ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$
• Folytonosság: Ha ${\textstyle f}$ folytonos, akkor integrálható
• Integrálszámítás alaptétele: Ha ${\textstyle F'(x)=f(x)}$, akkor ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}$

---

Korlátozások és továbbfejlesztések

A Riemann-integrál nem alkalmas olyan függvények integrálására, amelyek „túl sok” szakadási ponttal rendelkeznek, például a Dirichlet-féle függvényre nem értelmezhető. Ez motiválta a Lebesgue-integrál bevezetését, amely sokkal általánosabb osztályokra is alkalmazható.

---

Gyakorlati alkalmazás

A Riemann-integrált használják:

• mérnöki számításokban,
• fizikában: munka, energia, tömeg számítására,
• gazdaságtanban: összesített mennyiségek modellezésére,
• és általánosan mindenhol, ahol mennyiségek „összeadása” szükséges.

További információk

• Riemann integral - Szótár.net (en-hu)
• Riemann integral - Sztaki (en-hu)
• Riemann integral - Merriam–Webster
• Riemann integral - Cambridge
• Riemann integral - WordNet
• Riemann integral - Яндекс (en-ru)
• Riemann integral - Google (en-hu)
• Riemann integral - Wikidata
• Riemann integral - Wikipédia (angol)