Sablon:Families of sets

Families ${\mathcal {F}}$ of sets over $\Omega$ Sablon:Navbar1
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	Directed by $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
[[pi-system|páli-system]]	Sablon:ya	Sablon:ya	naurui	naurui	naurui	naurui	naurui	naurui	naurui	naurui
Semiring	Sablon:ya	Sablon:ya	naurui	naurui	naurui	naurui	naurui	naurui	Sablon:ya	Never
Semialgebra (Semifield)	Sablon:ya	Sablon:ya	naurui	naurui	naurui	naurui	naurui	naurui	Sablon:ya	Never
Monotone class	naurui	naurui	naurui	naurui	naurui	Sablon:ya	Sablon:ya	naurui	naurui	naurui
[[Dynkin system|Sablon:lambda-system (Dynkin System)]]	Sablon:ya	naurui	naurui	Sablon:ya	Sablon:ya	naurui	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	Never
Ring (Order theory)	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	naurui	naurui	naurui	naurui	naurui	naurui	naurui
Ring (Measure theory)	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	naurui	naurui	naurui	naurui	Sablon:ya	Never
δ-Ring	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	naurui	Sablon:ya	naurui	naurui	Sablon:ya	Never
[[Sigma-ring|Sablon:sigma-Ring]]	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	naurui	Sablon:ya	Sablon:ya	naurui	Sablon:ya	Never
Algebra (Field)	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	naurui	naurui	Sablon:ya	Sablon:ya	Never
[[σ-algebra|Sablon:sigma-Algebra (Sablon:sigma-Field)]]	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	Never
Dual ideal	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	naurui	naurui	naurui	Sablon:ya	Sablon:ya	naurui	naurui
Filter	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	Never	Never	naurui	Sablon:ya	Sablon:ya	$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$	Sablon:ya
Prefilter (Filter base)	Sablon:ya	naurui	naurui	Never	Never	naurui	naurui	naurui	$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$	Sablon:ya
Filter subbase	naurui	naurui	naurui	Never	Never	naurui	naurui	naurui	$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$	Sablon:ya
Open Topology	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	naurui	naurui	naurui	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	Never
Closed Topology	Sablon:ya	Sablon:ya	Sablon:ya	naurui	naurui	Sablon:ya	naurui	Sablon:ya	Sablon:ya	Never
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	directed downward	finite intersections	finite unions	relative complements	complements in $\Omega$	countable intersections	countable unions	contains $\Omega$	contains $\varnothing$	Finite Intersection Property
Additionally, a Sablon:em is a [[pi-system|páli-system]] where every complement $B\setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ A Sablon:em is a semiring where every complement $\Omega \setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ are arbitrary elements of ${\mathcal {F}}$ and it is assumed that ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$