Taylor-sor

A Wikiszótárból, a nyitott szótárból

Magyar

Kiejtés

  • IPA: [ ˈtɒilorʃor]

Főnév

Taylor-sor

  1. (matematika)

A matematikában Taylor-sornak nevezünk hatványfüggvényeknek egy speciális alakú függvénysorát. A Taylor-sorok határértékben gyakran előállítanak bonyolultabb függvényeket (például trigonometrikus vagy hiperbolikus függvényeket), melyek közelítő értékei így pusztán hatványozással kiszámíthatók. A függvények Taylor-sor alakjában történő felírását a függvények hatványsorba fejtésének nevezzük.

Legyen az a pont körüli valós (vagy komplex) hatványsor és legyen ennek konvergenciatartománya a valós (vagy komplex) számok V részhalmaza. Azt mondjuk, hogy ∑(cn(x-a)n) Taylor-sor, ha létezik olyan f, az a pont egy környezetén értelmezett, az a pontban végtelenszer differenciálható (valós vagy komplex) függvény, hogy minden n nemnegatív egész számra

,

ahol az f függvény a-beli n-edik deriváltját jelöli (vagyis a megállapodás szerint f (0) = f, f (1) = f ' , f (2) = f " , …), n! pedig az n szám faktoriálisa.

Azaz a ∑ ( cn(x-a)n ) Taylor-sor összegfüggvénye ( T ) minden egyes xV pontban:

Úgy is szokás fogalmazni, hogy a fenti sor az f függvény a ponthoz tartozó Taylor-sora. Ebben az esetben az f függvény a pont körüli Taylor-sorának összegfüggvényét jelöli.

Amennyiben a hatványsor középpontja 0, azaz a sorösszeg

,

akkor a Taylor-sort még MacLaurin-sornak is nevezzük.

Fordítások