Weierstrass-tétel

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈvɛjijɛrʃtrɒʃteːtɛl]

Főnév

Weierstrass-tétel

1. (matematika) A Weierstrass-tétel a matematikában az analízis egyik legfontosabb, alapvető tétele. Az egyváltozós valós függvények esetén a legtöbbször alkalmazott alakja az, hogy korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvénynek van abszolút maximuma és abszolút minimuma. A tétel tetszőleges korlátos és zárt, azaz kompakt halmazra is érvényes amennyiben $\mathbb {R} ^{n}$-ben maradunk. Általában, Hausdorff-féle topologikus terekben (ahol a korlátos és zárt feltételegyüttes nem esik egybe a kompaktsági kitétellel) a tétel kompakt halmazokra érvényes.

---

Weierstrass-approximációs tétel

Definíció

A **Weierstrass-approximációs tétel** a valós függvények elméletének egyik alapvető eredménye, amely kimondja, hogy minden folytonos függvény egy zárt intervallumon tetszőleges pontossággal közelíthető polinomfüggvényekkel.

> **Tétel**: Ha $f$ egy folytonos függvény a $[a,b]$ zárt intervallumon, akkor létezik egy polinomfüggvény $P(x)$, amelyre: $$\forall \varepsilon >0,\quad \sup _{x\in [a,b]}|f(x)-P(x)|<\varepsilon .$$

Ez azt jelenti, hogy bármely folytonos függvényhez található polinom, amely tetszőlegesen jól közelíti azt az adott intervallumon.

Fontos Fogalmak

Folytonos függvény

- Egy $f(x)$ függvény folytonos, ha bármely $x_{0}\in [a,b]$ pontra teljesül: $$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}).$$

Polinomközelítés

- Egy polinom $P(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\dots +c_{n}x^{n}$ közelíti $f(x)$-et, ha az $f(x)$ és $P(x)$ közötti eltérés $[a,b]$-n tetszőlegesen kicsivé tehető.

Szupremum normája

- Az eltérést az alábbi normával mérjük: $$\sup _{x\in [a,b]}|f(x)-P(x)|,$$ ami az $f(x)$ és $P(x)$ közötti maximális eltérést adja az $[a,b]$ intervallumon.

Bizonyítás

1. Bernstein-polinomok

A bizonyításban a **Bernstein-polinomok** konstrukcióját használjuk. Legyen: $$B_{n}(f,x)=\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right){\binom {n}{k}}x^{k}(1-x)^{n-k},$$ ahol ${\binom {n}{k}}$ a binomiális együttható.

2. Polinom közelítése

A $B_{n}(f,x)$ Bernstein-polinom a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. $B_{n}(f,x)$ egy polinom $x$-ben, amely fokszáma legfeljebb $n$.
2. Ha $f$ folytonos a $[0,1]$-en, akkor:

$$\lim _{n\to \infty }B_{n}(f,x)=f(x)\quad {\text{egyenletesen a }}[0,1]{\text{-en}}.$$

3. Egyenletes konvergencia bizonyítása

A Bernstein-polinomok konvergenciájának alapja a valószínűségelmélet egy eredménye, miszerint: - A ${\binom {n}{k}}x^{k}(1-x)^{n-k}$ tagok $x$-hez közel koncentrálódnak, ahogy $n\to \infty$. - Ennek eredményeként a $B_{n}(f,x)$ polinomok az $f(x)$ függvényt tetszőlegesen jól közelítik.

4. Általánosítás $[a,b]$-re

Ha $f(x)$ folytonos $[a,b]$-n, akkor az $[a,b]$-t átskálázhatjuk $[0,1]$-re a következő transzformációval: $$g(t)=f(a+t(b-a)),\quad t\in [0,1].$$ Ezután a $g(t)$-re alkalmazhatjuk a Bernstein-polinomokat, majd visszaskálázással megkapjuk az eredeti függvényt közelítő polinomot.

5. Következtetés

A Bernstein-polinomok konstrukciója bizonyítja, hogy bármely folytonos függvény tetszőlegesen jól közelíthető polinomokkal az adott zárt intervallumon.

Példák

Példa 1: Egyszerű függvény közelítése

Legyen $f(x)=x^{2}$ a $[0,1]$-en. A Bernstein-polinom: $$B_{n}(f,x)=\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {k}{n}}\right)^{2}{\binom {n}{k}}x^{k}(1-x)^{n-k}.$$ Ez a polinom tetszőlegesen jól közelíti $f(x)=x^{2}$-et, ahogy $n\to \infty$.

Példa 2: Nem polinomiális függvény

Legyen $f(x)=\sin(x)$ a $[0,\pi ]$-n. A Weierstrass-tétel garantálja, hogy létezik olyan polinom $P(x)$, amelyre: $$\sup _{x\in [0,\pi ]}|\sin(x)-P(x)|<\varepsilon ,$$ bármely $\varepsilon >0$-ra.

Fontos Következmények

1. **Folytonos függvények közelíthetősége**:

  - A tétel biztosítja, hogy bármely folytonos függvény polinomokkal közelíthető, ami alapvető a numerikus analízisben és az interpolációs módszerekben.

1. **Fourier-sorok és polinomok kapcsolata**:

  - A tétel lehetővé teszi, hogy a trigonometrikus függvények sorfejtését polinomközelítésekkel helyettesítsük.

1. **Számítógépes alkalmazások**:

  - A Weierstrass-tétel alapja a függvények numerikus reprezentációjának és számításának.

Összegzés

A **Weierstrass-approximációs tétel** az analízis egyik legfontosabb eredménye, amely biztosítja, hogy bármely folytonos függvény tetszőleges pontossággal közelíthető polinomokkal egy zárt intervallumon. Ez a tétel az interpolációs módszerek, numerikus algoritmusok és a számítógépes matematikai modellezés alapját képezi.

• angol: extreme value theorem (en)

További információk

• Weierstrass-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Weierstrass-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Weierstrass-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Weierstrass-tétel - DeepL (hu-de)
• Weierstrass-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Weierstrass-tétel - Google (hu-en)
• Weierstrass-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Weierstrass-tétel - Wikidata
• Weierstrass-tétel - Wikipédia (magyar)