Ugrás a tartalomhoz

axiom

A Wikiszótárból, a nyitott szótárból

Főnév

axiom (tsz. axioms)

  1. (informatika) axióma

Egy axióma (görögül: axiōma, jelentése „ami elfogadható”) egy alapvető, bizonyítás nélkül elfogadott állítás, amelyet egy adott matematikai vagy logikai rendszer kiindulópontjaként használunk. Az axiómákból logikai következtetéssel vezetjük le a többi állítást, azaz a tételeket.



🧠 Az axióma lényege

  • Olyan alapállítás, amelyet nem bizonyítunk, hanem elfogadunk igaznak a rendszer keretein belül.
  • Az axiómák meghatározzák, milyen szabályok szerint működik az adott matematikai világ (pl. Euklideszi geometria, halmazelmélet, aritmetika).



🧩 Példák klasszikus axiómákra

🔹 Euklideszi geometria axiómái (síkgeometria)

  1. Két pont között egy egyenes húzható.
  2. Egy egyenes végtelenül meghosszabbítható.
  3. Egy adott középpontú és sugarú kör szerkeszthető.
  4. Minden derékszög egyenlő.
  5. (Párhuzamos axióma) Egy adott egyeneshez egy külső pontból legfeljebb egy párhuzamos húzható.

A párhuzamos axióma lecserélésével nem-euklideszi geometriák jönnek létre (pl. hiperbolikus, elliptikus).


🔹 Peano-axiómák (természetes számok aritmetikája)

  1. 0 egy természetes szám.
  2. Minden számnak van egy utódja.
  3. 0 nem utódja semelyik számnak.
  4. Két szám akkor egyenlő, ha utódaik is egyenlőek.
  5. (Indukció axióma) Ha 0 rendelkezik egy tulajdonsággal, és ha minden szám utódja is rendelkezik vele, akkor minden szám rendelkezik vele.



🔹 Zermelo–Fraenkel-halmazelmélet (ZF vagy ZFC)

  • Modern matematika alapja, a következő típusú axiómákkal:
    • Halmazok léteznek
    • Halmazokat unióval, részhalmazként, párral létrehozhatunk
    • Végtelen halmaz létezik
    • A kiválasztási axióma (C az ZFC-ben)



📘 Axióma vs. tétel vs. definíció

Fogalom Jelentés
Axióma Bizonyítás nélkül elfogadott igazság
Definíció Fogalmak pontos értelmezése
Tétel Olyan állítás, amelyet az axiómákból és korábbi tételekből bizonyítunk



🧪 Miért fontosak az axiómák?

  • Kiindulási pont minden formális bizonyításhoz
  • Egy axiómarendszer határozza meg, milyen világban dolgozunk (pl. Euklideszi vs. nem-euklideszi)
  • Logikai rendszerek konzisztenciájának és teljességének vizsgálata az axiómákhoz kötött



🤔 Axiómák a különböző tudományágakban

  • Matematika: formális rendszerek felépítése
  • Logika: ítéletlogikai és predikátumlogikai szabályok
  • Geometria: tér struktúrájának meghatározása
  • Fizika: bizonyos elméleti alapfeltevések (pl. Einstein-féle relativitás posztulátumai)



🧾 Összefoglalás

Egy axióma egy adott formális rendszer alapigazsága, amelyet nem bizonyítanak, hanem igaznak tekintenek. Az axiómákból logikai következtetéssel vezethetők le tételek, és így épül fel a teljes matematikai struktúra. Az axiómarendszerek választása meghatározza, milyen világban gondolkodunk – az axiómák nem abszolút igazságok, hanem szabályok, amelyek szerint játszunk.