binomiális tétel

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈbinomijaːliʃteːtɛl]

Főnév

binomiális tétel

1. (matematika) következő képletben foglalható össze:

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$

(szummajel használata nélkül):

$(a+b)^{n}={n \choose 0}a^{n}b^{0}+{n \choose 1}a^{n-1}b^{1}+...+{n \choose n-1}a^{1}b^{n-1}+{n \choose n}a^{0}b^{n}$

ahol n természetes szám (n∈ℕ), a, b pedig valós vagy komplex számok, vagy általánosabban, egy kommutatív félgyűrű elemei; továbbá a képletben szereplő ún. binomiális együtthatók a következőképp számolhatóak ki:

${{n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$; $n!$ pedig az n szám faktoriálisát jelenti.

Szavakban megfogalmazva a binomiális tétel egy kéttagú összeg tagonkénti hatványra emelésének módja: egy kéttagú összeget úgy is n-edik hatványra emelhetünk, hogy összeadjuk a két tag összes olyan hatványának szorzatát, mely hatványok kitevői összege a kéttagú összeg kitevője (azaz n), megszorozva a Pascal-háromszög n-edik sorának annyiadik elemével, ahányadaik hatványon az első tag áll a szorzatokban (a Pascal-háromszögben a sorok és a sorok elemeinek számozását is a 0-tól kezdve).

Fordítások

• angol: binomial theorem (en)
• francia: formule du binôme (fr)
• német: binomischer Lehrsatz (de)
• orosz: биномиальная теорема (ru) (binomialʹnaja teorema)