de Moivre-Laplace-tétel

Magyar

Kiejtés

IPA: [ ˈdɛmojivrɛlɒplɒt͡sɛteːtɛl]

Főnév

(matematika) A de Moivre-Laplace tétel a valószínűségszámítás egyik alapvető eredménye, amely kapcsolatot teremt a binomiális eloszlás és a normális eloszlás között. A tétel az egyik első bizonyíték arra, hogy a központi határeloszlás tétel hogyan működik binomiális eloszlások esetében.

Mi a de Moivre-Laplace tétel?

A binomiális eloszlás $B(n,p)$ , ahol $n$ a kísérletek száma, $p$ pedig az egyedi kísérlet sikerének valószínűsége. Ez az eloszlás azt írja le, hogy $n$ ismétlés során hány sikeres esemény fordul elő. Ha $n$ elég nagy, a binomiális eloszlás jól közelíthető egy normális eloszlással.

Tétel kimondása

Ha $X\sim B(n,p)$ , akkor a következő igaz: $P(a\leq X\leq b)\approx \Phi \left({\frac {b+0.5-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)-\Phi \left({\frac {a-0.5-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right),$ ahol:

$\Phi (z)$ : a standard normális eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye,
$np$ : a binomiális eloszlás várható értéke (átlaga),
${\sqrt {np(1-p)}}$ : a binomiális eloszlás szórása,
$a$ és $b$ : a kívánt tartomány határai.

A $\pm 0.5$ korrekciót folytonossági korrekciónak nevezzük, ami azért szükséges, mert a binomiális eloszlás diszkrét, míg a normális eloszlás folytonos.

Tétel jelentősége

Kapcsolat a normális és binomiális eloszlás között: A tétel megmutatja, hogy ha $n$ elég nagy, a binomiális eloszlás megközelíthető normális eloszlással. Ez jelentősen megkönnyíti a számításokat, különösen nagy $n$ értékek esetén.

Számítási egyszerűség: A binomiális eloszlás összetett, ha nagy $n$ és $k$ értékekkel dolgozunk, mert ${\binom {n}{k}}$ értékei gyorsan nőnek. A normális eloszlás közelítésével a táblázatok és egyszerű képletek segítségével számíthatunk.

Alkalmazhatóság: A tétel használható bármely $B(n,p)$ eloszlás esetén, feltéve, hogy $n$ elég nagy, és $p$ nem túl közel 0-hoz vagy 1-hez.

Matematikai háttér

Binomiális eloszlás

A binomiális eloszlás valószínűségi tömegváltozója: $P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k},$ ahol $k=0,1,\dots ,n$ , és:

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ : a kombinációs szám, ami az $n$ elem közül $k$ -féleképpen történő kiválasztás lehetőségét adja meg,
$p$ : az egyes kísérletek sikerének valószínűsége,
$1-p$ : a kudarc valószínűsége.

Normális eloszlás

A normális eloszlás sűrűségfüggvénye: $f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},$ ahol:

$\mu$ : az eloszlás várható értéke,
$\sigma$ : az eloszlás szórása.

Kapcsolat a kettő között

A de Moivre-Laplace tétel azt állítja, hogy ha $n\to \infty$ , akkor a binomiális eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye közelíthető a normális eloszlás kumulatív eloszlásfüggvényével.

Feltételek a tétel alkalmazásához

Nagyszámúság ( $n$ nagy): Általánosan elfogadott, hogy $n\geq 30$ esetén a normális közelítés érvényes, de minél nagyobb az $n$ , annál jobb a közelítés.

$p$ nem túl szélsőséges: $p$ értéke ne legyen túl közel 0-hoz vagy 1-hez. Ha $p\approx 0$ vagy $p\approx 1$ , akkor a binomiális eloszlás erősen aszimmetrikus, és a normális közelítés pontatlan lesz.

Folytonossági korrekció: A diszkrét $X$ helyett a folytonos $Z$ -t használjuk, a $\pm 0.5$ korrekcióval.

Példa

Feladat

Egy gyárban 1000 termék közül 60%-nak várhatóan jó a minősége. Mi a valószínűsége, hogy a jó termékek száma 590 és 620 között van?

Lépések

Binomiális paraméterek:
- $n=1000$ , $p=0.6$ .
Átlag és szórás:
- $\mu =np=1000\cdot 0.6=600$ ,
- $\sigma ={\sqrt {np(1-p)}}={\sqrt {1000\cdot 0.6\cdot 0.4}}={\sqrt {240}}\approx 15.49$ .
Standardizálás és folytonossági korrekció:
- Az alsó határ: $Z_{590}={\frac {590-0.5-600}{15.49}}={\frac {-10.5}{15.49}}\approx -0.68$ ,
- A felső határ: $Z_{620}={\frac {620+0.5-600}{15.49}}={\frac {20.5}{15.49}}\approx 1.32$ .
Valószínűség meghatározása:
- $P(590\leq X\leq 620)=\Phi (Z_{620})-\Phi (Z_{590})$ ,
- $\Phi (1.32)\approx 0.9066$ ,
- $\Phi (-0.68)\approx 0.2483$ ,
- $P(590\leq X\leq 620)=0.9066-0.2483=0.6583$ .

Eredmény

A jó termékek száma 590 és 620 között lesz kb. 65.83%-os valószínűséggel.

Elméleti háttér

A tétel azon az elven alapul, hogy a binomiális eloszlás növekvő $n$ -nel egyre jobban hasonlít a normális eloszlásra, mivel az összegek várható értéke $np$ , szórása pedig ${\sqrt {np(1-p)}}$ . Ez a központi határeloszlás tétel egyik korai speciális esete.

angol: De Moivre–Laplace theorem (en)

További információk

de Moivre-Laplace-tétel - Értelmező szótár (MEK)
de Moivre-Laplace-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
de Moivre-Laplace-tétel - Szótár.net (hu-hu)
de Moivre-Laplace-tétel - DeepL (hu-de)
de Moivre-Laplace-tétel - Яндекс (hu-ru)
de Moivre-Laplace-tétel - Google (hu-en)
de Moivre-Laplace-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
de Moivre-Laplace-tétel - Wikidata
de Moivre-Laplace-tétel - Wikipédia (magyar)