egyenletes konvergencia

Magyar

Kiejtés

IPA: [ ˈɛɟɛnlɛtɛʃkoɱvɛrɡɛnt͡sijɒ]

Főnév

(matematika) A matematikai analízisben az egyenletes konvergencia egy, a pontonkénti konvergenciánál erősebb konvergenciafajta. Függvények egy {f_n} sorozata egyenletesen tart az f határfüggvényhez, ha f_n(x) konvergenciasebessége nem függ x-től.

A fogalom azért fontos, mert megőrzi az f_n függvények egyes tulajdonságait, például a folytonosságot és a Riemann-integrálhatóságot, míg a pontonkénti konvergencia ezt nem teszi meg.

Definíció

Legyen $S$ halmaz, és $f_{n}:S\to \mathbb {R}$ függvény minden n-re. Azt mondjuk, hogy az $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sorozat egyenletesen tart az $f:S\to \mathbb {R}$ függvényhez, ha minden $\epsilon >0$ -hoz van egy $N$ természetes szám, hogy minden $x\in S$ helyre és minden $n\geq N$ sorszámra $|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon$ .

Tekintsük az $a_{n}=\sup _{x}|f_{n}(x)-f(x)|$ sorozatot, ahol a szuprémum az összes $x\in S$ -re megy. Ekkor $f_{n}$ egyenletesen tart $f$ -hez, ha $a_{n}$ tart nullához.

Az $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sorozat lokálisan egyenletesen konvergens, és tart $f$ -hez, ha egy $S$ metrikus tér minden $x$ eleméhez létezik $r>0$ , hogy $(f_{n})$ egyenletesen konvergens $B(x,r)\cap S$ -ben.