elemi bázistranszformáció

A Wikiszótárból, a nyitott szótárból

Magyar

Kiejtés

  • IPA: [ ˈɛlɛmibaːziʃtrɒnsformaːt͡sijoː]

Főnév

elemi bázistranszformáció

  1. (matematika) A bázistranszformációnak azt a legegyszerűbb esetét, amelynél az adott bázisnak egy lépésben csak egy bázisvektorát cseréljük ki, elemi bázistranszformációnak nevezzük.

Legyen bázis,

Ekkor létezik olyan i index, hogy a is bázis -ben, és bármely -beli vektornak a B bázisra vonatkozó koordinátáiból (ismerve a c vektor B-re vonatkozó koordinátáit is) egyszerűen számolhatjuk a B'-re vonatkozó koordinátáit.

Bizonyítás

Legyen

Az x és c előállítása a B bázison legyen a következő:

Mivel így létezik olyan i index, hogy

Ekkor a vektorhalmaz lineárisan független, ellenkező esetben ugyanis c lineárisan függene elemeitől, ami a bázison történő egyértelmű előállíthatóság miatt ellentmondana (2)-nek, ahol feltettük, hogy

Továbbá B' elemszáma megegyezik B elemszámával, így B' bázis.

Ezután keressük az x vektor B'-re vonatkozó koordinátáit.

(2)-ből fejezzük ki -t és a kapott kifejezést helyettesítsük be (1)-be.

Ekkor kapjuk:

Ennek alapján a transzformációs szabály könnyen formulázható.

A bázisvektorcsere esetén az új koordináták a régi koordinátákból a következő módon nyerhetők:

Megjegyzések


A könnyebb megjegyezhetőség kedvéért megadjuk az elemi bázistranszformációval számolható koordináták táblázatos elrendezését is.

Ebben feltüntetjük a bázisból távozó a bázisba belépő (c) és egy tetszőleges vektor (x) koordinátáit a két bázisra vonatkozóan. hányadost -val jelöljük.)

A számot generáló elemnek szokás nevezni.


Legyen és két bázis az vektortérben.

Ha egy vektor koordinátáit ismerjük a bázisra vonatkozóan, akkor x -re vonatkozó koordinátáit elemi bázistranszformációk sorozatával határozhatjuk meg, lépésről lépésre kicserélve a két bázis vektorait. (Természetesen induláskor ismernünk kell a bázis vektorainak -re vonatkozó koordinátáit is.)

Fordítások