geometry

Geometry
Projecting a sphere to a plane
Branches Euclidean Non-Euclidean Elliptic Spherical Hyperbolic Non-Archimedean geometry Projective Affine Synthetic Analytic Algebraic Arithmetic Diophantine Differential Riemannian Symplectic Discrete differential Complex Finite Discrete/Combinatorial Digital Convex Computational Fractal Incidence Noncommutative geometry Noncommutative algebraic geometry
Concepts Features Dimension Straightedge and compass constructions Angle Curve Diagonal Orthogonality (Perpendicular) Parallel Vertex Congruence Similarity Symmetry
Zero-dimensional Point
One-dimensional Line segment ray Length
Two-dimensional Plane Area Polygon Triangle Altitude Hypotenuse Pythagorean theorem Parallelogram Square Rectangle Rhombus Rhomboid Quadrilateral Trapezoid Kite Circle Diameter Circumference Area
Three-dimensional Volume Cube cuboid Cylinder Dodecahedron Icosahedron Octahedron Pyramid Platonic Solid Sphere Tetrahedron
Four-/other-dimensional Tesseract Hypersphere
Geometers
by name Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Archimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Chern Coxeter Descartes Euclid Euler Gauss Gromov Hilbert Huygens Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang List of geometers
by period BCE Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euclid Archimedes Apollonius 1–1400s Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400s–1700s Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Huygens Minggatu Euler Sakabe Aida 1700s–1900s Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Chern Present day Atiyah Gromov

Angol

Főnév

geometry (tsz. geometries)

1. (informatika) geometria, mértan

---

A geometria a matematika egyik legrégebbi és legszélesebb területe, amely az alakzatok, térbeli viszonyok és méretek tanulmányozásával foglalkozik. Maga a szó a görög „geo” (föld) és „metron” (mérés) szavakból ered, utalva a geometria kezdeti szerepére a földmérésben. Mára azonban a geometria jóval túlmutat az eredeti gyakorlati alkalmazásokon, s számos elméleti és gyakorlati területen alapvető szerepet játszik — az építészetben, fizikában, számítógépes grafikában, robotikában, sőt a modern tudományos kutatásban is.

Történeti áttekintés

A geometria eredete az ókori civilizációkhoz vezethető vissza, ahol a gyakorlati szükségletek — például a mezők felmérése, piramisok építése — ösztönözték a fejlődését. Az ókori Egyiptomban és Mezopotámiában már használták a geometriai elveket. A geometria azonban az ókori Görögországban nyerte el elméleti formáját, különösen Euklidész híres művében, a Sztöikheia-ban (Elemei), amely évszázadokon keresztül a geometriai gondolkodás alapműve maradt.

A középkorban a geometria fejlődése kissé háttérbe szorult, de az iszlám tudomány nagyban hozzájárult a módszertan gazdagításához. A reneszánsz idején az analitikus geometria kialakulásával (elsősorban René Descartes révén) a geometria új dimenziót kapott: a sík- és térbeli viszonyokat algebrai eszközökkel lehetett vizsgálni.

A 19. század hozta meg a következő forradalmat a nem-euklideszi geometriák (mint a hiperbolikus és elliptikus geometria) felfedezésével, amelyek megmutatták, hogy az Euklidész által lefektetett axiómák nem az egyetlen lehetséges alapok. A differenciálgeometria és a topológia megjelenése pedig még szélesebb értelmezési keretet adott a geometriai gondolkodásnak.

A geometria fő ágai

1. Euklideszi geometria

Ez a klasszikus geometria, amely Euklidész munkáján alapszik. Fő jellemzője, hogy síkban (kétdimenziós) vagy térben (háromdimenziós) zajlik, az Euklidészi párhuzamos posztulátum érvényes.

Fő fogalmai:

• Pont, egyenes, sík
• Szög, háromszög, sokszög
• Kör, kúpszeletek
• Távolság, kerület, terület, térfogat

2. Analitikus geometria

Az analitikus geometria a geometriai alakzatokat algebrai egyenletek segítségével írja le. Például egy kör egyenlete: ${\textstyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}$

Fő eszköze a koordináta-rendszer (Descartes-féle koordinátageometria).

Előnye, hogy lehetővé teszi a számítási algoritmusok alkalmazását és a számítógépes modellezést.

3. Nem-euklideszi geometria

A nem-euklideszi geometriák lényege, hogy Euklidész párhuzamos axiómáját elvetik vagy módosítják.

Két fő típusa:

• Hiperbolikus geometria: egy adott egyenesen kívül végtelen sok párhuzamos egyenes létezik.
• Elliptikus geometria: nincs párhuzamos egyenes, minden egyenes „bezáródik”.

Ezeknek jelentős alkalmazásai vannak például az általános relativitáselméletben, ahol a téridő geometriája nem euklideszi.

4. Topológia

A topológia a folytonosság és helyettesíthetőség geometriája. Az alakzatok nyújthatók, hajlíthatók anélkül, hogy a topológiai jellemzők megváltoznának.

Például a kör és az ellipszis topológiailag ekvivalensek. Fontos fogalom a genusz (lyukak száma).

A topológia modern alkalmazása megtalálható a hálózatelméletben, adatelemzésben és kvantumfizikában.

5. Differenciálgeometria

A differenciálgeometria görbülettel rendelkező felületek és sokaságok vizsgálatával foglalkozik.

Kiemelt eszközei:

• Görbület, térbeli görbék, felületek
• Riemann-féle sokaságok

Alkalmazása például a relativitáselméletben alapvető: az univerzum görbült téridőként való modellezése differenciálgeometriai eszközöket igényel.

Fontos geometriai fogalmak

Pont és egyenes

A pont alapfogalom, amelynek nincs mérete, csak helye. Az egyenes végtelen hosszú, egy irány mentén kiterjedő objektum.

Távolság és szög

A távolság két pont között mért hossz. A szög két egyenes vagy félegyenes által bezárt nyílásszög.

Háromszög

A háromszög a legegyszerűbb sokszög, három oldalból és három szögből áll. Alapvető típusai:

• Egyenlő szárú
• Egyenlő oldalú
• Derékszögű

A háromszögek fontos tételei:

• Pitotagorasz-tétel
• Szögösszeg 180°
• Szinusz-tétel, koszinusz-tétel

Kör

A kör azon pontok halmaza, amelyek egy adott ponttól (középpont) adott távolságra (sugár) helyezkednek el.

Fontos jellemzők:

• Kerület: ${\textstyle 2\pi r}$
• Terület: ${\textstyle \pi r^{2}}$

Térgeometriai alakzatok

A térgeometria háromdimenziós testekkel foglalkozik:

• Kocka
• Hasáb
• Gúla
• Henger
• Kúp
• Gömb

Fontos fogalmak:

• Felszín (pl. gömb felszíne: ${\textstyle 4\pi r^{2}}$)
• Térfogat (pl. gömb térfogata: ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$)

Modern alkalmazások

A geometria ma számos területen jelen van:

• Számítógépes grafika: 3D modellezés, animációk
• Robotika: mozgástervezés, térbeli navigáció
• Műholdas helymeghatározás (GPS)
• Fizika: téridő modellezése, kvantumelmélet
• Építészet: szerkezeti tervezés, esztétika
• Orvosi képalkotás: MRI, CT rekonstrukciók

A geometria filozófiai jelentősége

A geometria különleges helyet foglal el a matematika filozófiájában. A Platóni filozófiában a geometriai alakzatokat az ideák világához kapcsolták: a tökéletes kör vagy háromszög csak az elmében létezhet.

A matematikai intuíció fejlődésében is nagy szerepe van: a geometriai fogalmak sokkal inkább vizuális természetűek, mint az algebrai kifejezések, így segítenek a térbeli gondolkodás fejlesztésében.

Záró gondolat

A geometria ma is a matematika egyik legélőbb ága. Folyamatosan bővül — az algebrai geometria, kombinatorikus geometria vagy fraktálgeometria új, izgalmas kutatási irányokat kínál. Egyben kapocs a tudomány és a művészet között, hiszen az alakzatok harmóniája, az arányok és a szimmetria minden kultúrában alapvető esztétikai élményt nyújt.

A geometria tehát nemcsak praktikus, hanem mélyen filozófiai is: segít megérteni a világ szerkezetét — s egyben önmagunk gondolkodásának természetét is.

További információk

• geometry - Szótár.net (en-hu)
• geometry - Sztaki (en-hu)
• geometry - Merriam–Webster
• geometry - Cambridge
• geometry - WordNet
• geometry - Яндекс (en-ru)
• geometry - Google (en-hu)
• geometry - Wikidata
• geometry - Wikipédia (angol)