kopula

Magyar

Kiejtés

IPA: [ ˈkopulɒ]

Főnév

kopula

(matematika, valószínűségszámítás) A kopula a valószínűségszámításban egy függvény, ami különböző valószínűségi változók peremeloszlásai és közös eloszlása között állít fel kapcsolatot. Segítségével szabadabban lehet modellezni a valószínűségi változók közötti kapcsolatot, mint korrelációval.

Definíció

A kopula egy $C\colon [0,1]^{n}\rightarrow [0,1]$ többváltozós eloszlásfüggvény, melynek egydimenziós peremeloszlásai egyenletes eloszlásúak $[0,1]$ -ben. Ez a következőket jelenti:

$C$ többváltozós eloszlásfüggvény, így:

$\forall u\in [0,1]^{n}\colon \min\{u_{1},\dotsc ,u_{n}\}=0\implies C(u)=0$ ,
$C$ n-növekvő, azaz minden $R=\prod _{i=1}^{n}[x_{i},y_{i}]\subseteq [0,1]^{n}$ téglán a C-térfogat nemnegatív, $V_{C}\left(R\right):=\sum _{\mathbf {z} \in \prod _{i=1}^{n}\{x_{i},y_{i}\}}(-1)^{N(\mathbf {z} )}C(\mathbf {z} )\geq 0$ , ahol $N(\mathbf {z} ):=|\{k\mid z_{k}=x_{k}\}|$ ,

$C$ egydimenziós peremeloszlásai egyenletesek a $[0,1]$ intervallumon: $\forall j\in \{1,\dotsc ,n\},u=(u_{1},...,u_{n})\in \{1\}^{j-1}\times [0,1]\times \{1\}^{n-j}\colon C(u)=u_{j}$ .

Az utolsó követelmény motivációja a következő: Egy rögzített $n\in \mathbb {N}$ számra az $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ tetszőleges folytonos $F_{X_{i}},\;i\in \{1,2,\dotsc ,n\}$ eloszlású valószínűségi változók esetén $F_{X_{i}}(X_{i})$ egyenletes eloszlású az $[0,1]$ intervallumon.