linear algebra

Angol

Főnév

linear algebra (tsz. linear algebras)

1. (informatika) lineáris algebra

---

A lineáris algebra a matematika azon ága, amely vektorokkal, mátrixokkal, lineáris egyenletrendszerekkel, és azok transzformációival foglalkozik. Alapvető fontosságú az informatikában, fizikában, gépi tanulásban, grafikában és sok más területen.

---

🧠 Alapfogalmak

🔹 Vektor

• Egy irányított mennyiség, több dimenzióban.

• Példa:

  $${\vec {v}}={\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}}$$

🔹 Mátrix

• Téglalap alakú számhalmaz, sorok és oszlopok szerint rendezve.

• Példa:

  $$A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}$$

🔹 Skalár

• Egyetlen szám (pl. 5, -2, π).

---

➕ Műveletek

1. Vektorműveletek

• Összeadás, kivonás:

  $${\vec {a}}+{\vec {b}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4\\6\end{bmatrix}}$$

• Skalárral szorzás:

  $$2\cdot {\vec {a}}=2\cdot {\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\-2\end{bmatrix}}$$

2. Mátrixműveletek

• Mátrixok összeadása/kivonása: csak ha azonos méretűek

• Mátrixszorzás:

  $${\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}=11$$

• Transzponálás: sorból oszlop lesz

• Inverz (ha létezik): ${\textstyle A^{-1}}$

---

📈 Lineáris egyenletrendszerek

Általános forma:

$$A\cdot {\vec {x}}={\vec {b}}$$

Példa:

$${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\11\end{bmatrix}}$$

---

🧮 Megoldási módszerek

1. Gauss-elimináció – lépésenként sorátalakítás
2. Gauss–Jordan elimináció – teljes redukált mátrixformáig megy
3. Inverz mátrix módszer – ha ${\textstyle A\cdot x=b}$, akkor ${\textstyle x=A^{-1}\cdot b}$
4. Cramer-szabály – determinánsokkal

---

🧾 Fontos fogalmak

Fogalom	Jelentés
Determináns	Skalár, ami a mátrix tulajdonságait jellemzi
Rang (rank)	A lineárisan független sorok/oszlopok száma
Lineáris függetlenség	Ha vektorok nem fejezhetők ki egymásból
Bázis	A vektortér „alapja”, ami feszíti az egészet
Dimenzió	A tér „kiterjedése”, bázisvektorok száma
Eigenvalue / sajátérték	A transzformáció nyújtó/feszítő hatása
Eigenvector / sajátvektor	Olyan vektor, ami csak nyúlik, de nem fordul el

---

📊 Alkalmazások

Terület	Példa
Számítógépes grafika	3D forgatás, skálázás (transzformációk)
Fizika	Erővektorok, mozgásegyenletek
Gépi tanulás	Adatredukció (PCA), súlyvektorok
Kriptográfia	Kódolás inverz mátrixszal
Hálózatelemzés	Gráf mátrixok (szomszédsági, Laplace)

---

🧪 Példa: Gauss-elimináció

Oldjuk meg:

$${\begin{cases}x+2y=5\\3x+4y=11\end{cases}}$$

Lépések:

$${\begin{bmatrix}1&2&|&5\\3&4&|&11\end{bmatrix}}$$

2. Alakítsuk: második sorból kivonjuk 3×első sort

$${\begin{bmatrix}1&2&|&5\\0&-2&|&-4\end{bmatrix}}$$

3. Második egyenletből: ${\textstyle y=2}$, majd visszahelyettesítés → ${\textstyle x=1}$

További információk

• linear algebra - Szótár.net (en-hu)
• linear algebra - Sztaki (en-hu)
• linear algebra - Merriam–Webster
• linear algebra - Cambridge
• linear algebra - WordNet
• linear algebra - Яндекс (en-ru)
• linear algebra - Google (en-hu)
• linear algebra - Wikidata
• linear algebra - Wikipédia (angol)