linear inequality

Angol

Főnév

linear inequality (tsz. linear inequalities)

(informatika) lineáris egyenlőtlenség

A linear inequality (lineáris egyenlőtlenség) egy olyan matematikai kifejezés, amelyben egy lineáris algebrai kifejezés nem egyenlőség, hanem egyenlőtlenség formájában szerepel. Ezek az egyenlőtlenségek kulcsfontosságúak a lineáris programozásban, geometriai modellezésben, döntési problémákban és gazdasági modellekben.

1. Definíció

Egy lineáris egyenlőtlenség olyan kifejezés, amely a következő formában adható meg:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}\ \square \ b$

– ahol:

${\textstyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} }$ : konstans együtthatók
${\textstyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ : változók
${\textstyle b\in \mathbb {R} }$ : konstans tag
${\textstyle \square \in \{<,\leq ,>,\geq \}}$

2. Példák

Egyváltozós:

$3x-7\leq 5$

Megoldása:

$3x\leq 12\Rightarrow x\leq 4$

Kétváltozós:

$2x+3y\leq 6$

Ez egy félsíkot határoz meg a síkban – minden pont, ami a ${\textstyle 2x+3y=6}$ egyenes alatt vagy rajta van, kielégíti az egyenlőtlenséget.

3. Geometriai értelmezés

Minden lineáris egyenlőtlenség egy egyenes (sík, hiper-sík) egyik oldalát jelöli:

Kétváltozós: félsík
Háromváltozós: féltér
Többváltozós: félhipersík

Az egyenlőtlenségek metszéspontjai általában megengedett tartományt (feasible region) határoznak meg optimalizálási problémákban.

4. Egyenlőtlenségrendszerek

Több lineáris egyenlőtlenségből rendszer alkotható:

${\begin{cases}x+y\leq 5\\x-y\geq 1\\x\geq 0,\ y\geq 0\end{cases}}$

A megoldások halmaza az a sokszög (poligon), amely teljesíti az összes feltételt egyszerre.

5. Lineáris egyenlőtlenségek alkalmazása

✅ Lineáris programozás

A célfüggvény optimalizálása (pl. profitmaximalizálás) egy sor lineáris egyenlőtlenség által meghatározott tartományon belül.

✅ Döntési modellek

Erőforrások, idő, pénz korlátozása lineáris formában.

✅ Grafikus megoldás

Két változó esetén az egyenlőtlenségeket ábrázolhatjuk síkon, és szemmel is meghatározhatjuk a megoldáshalmazt.

6. Algebrai megoldás – lépések

Példa:

$x+2y\leq 8,\quad x\geq 2,\quad y\geq 0$

Ábrázoljuk az egyenlőséggé alakított változatokat (pl. ${\textstyle x+2y=8}$ )
Határozzuk meg, melyik oldalon van az igaz tartomány
Árnyékoljuk azokat a régiókat, amelyek minden feltételt kielégítenek
A metszet lesz a megoldás

7. Egyenlőtlenség normál formában

A lineáris programozásban az egyenlőtlenségeket gyakran normál formára hozzuk:

$Ax\leq b$

– ahol:

${\textstyle A}$ : mátrix (egyenlőtlenségek együtthatói)
${\textstyle x}$ : változók vektora
${\textstyle b}$ : konstans vektor

8. Egyenlőtlenségek átalakítása

Ha az egyenlőtlenség típusa nem megfelelő, átrendezéssel alakíthatjuk:

${\textstyle x\geq 5\Rightarrow -x\leq -5}$
${\textstyle x=y\Rightarrow x-y\leq 0\land y-x\leq 0}$

Egyenlőség átalakítható két egyenlőtlenség kombinációjává.

9. C++ példa – lineáris egyenlőtlenség ellenőrzése

#include <iostream>

bool satisfiesInequality(double x, double y) {
    return (x + 2*y <= 8) && (x >= 2) && (y >= 0);
}

int main() {
    double x, y;
    std::cout << "Adj meg x és y értékeket: ";
    std::cin >> x >> y;

    if (satisfiesInequality(x, y)) {
        std::cout << "Az értékek kielégítik az egyenlőtlenségeket.\n";
    } else {
        std::cout << "Nem felel meg a rendszernek.\n";
    }
    return 0;
}

10. Összefoglalás

Fogalom	Jelentés
Linear inequality	Olyan reláció, ahol egy lineáris kifejezés kisebb/nagyobb egy értéknél
Megoldáshalmaz	Az a tartomány, ahol az egyenlőtlenség igaz
Alkalmazás	Optimalizálás, grafikus megoldás, LP-modellek
Típusok	${\textstyle <,\leq ,>,\geq }$
Ábrázolás	Egyenesek által határolt régiók (2D, 3D)

A lineáris egyenlőtlenségek a matematikai modellezés és optimalizálás alapkövei – egyszerű, mégis erőteljes eszközök, amelyekkel valós problémák egész sorát megoldhatjuk.

További információk

linear inequality - Szótár.net (en-hu)
linear inequality - Sztaki (en-hu)
linear inequality - Merriam–Webster
linear inequality - Cambridge
linear inequality - WordNet
linear inequality - Яндекс (en-ru)
linear inequality - Google (en-hu)
linear inequality - Wikidata
linear inequality - Wikipédia (angol)