measure theory

Angol

Főnév

measure theory (tsz. measure theories)

1. (informatika) mértékelmélet

---

Mértékelmélet a matematika azon ága, amely általánosítja a hosszúság, terület, térfogat fogalmát, és megalapozza a valószínűségszámítás, integrálszámítás és funkcionálanalízis formális hátterét.

---

🔍 Alapfogalmak

1. Mérhető tér: Egy hármas ${\textstyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$, ahol

   • ${\textstyle X}$: alaphalmaz

   • ${\textstyle {\mathcal {F}}\subseteq 2^{X}}$: σ-algebra (szigma-algebra) – azaz olyan részhalmazok rendszere, ami:

     • tartalmazza az üres halmazt,
     • zárt komplementerre,
     • zárt végtelen uniókra.

   • ${\textstyle \mu$ :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]} : mértékfüggvény (measure), amely:

     • nemnegatív,

     • σ-additív: Ha ${\textstyle A_{i}\in {\mathcal {F}}}$ diszjunktak, akkor

       $$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})$$

2. Lebesgue-mérték: A valós számegyenesen (vagy ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$-ben) értelmezett legfontosabb mérték, ami Lebesgue-integrált tesz lehetővé ott is, ahol a Riemann-integrál nem létezik.

3. Nullmértékű halmaz: Olyan halmaz, melynek mértéke nulla, pl. egy pont: ${\textstyle \mu (\{x\})=0}$.

---

📐 Mérték példák

Lebesgue-mérték Jelölése: ${\textstyle \lambda }$ Ez a mérték általánosítja a hosszúságot, területet és térfogatot az ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ térben. Például a valós számegyenesen egy intervallum Lebesgue-mértéke megegyezik annak hosszával.

---

Dirac-mérték Jelölése: ${\textstyle \delta _{x}}$ Ez egy olyan mérték, amely minden halmazra 0 értéket ad, kivéve, ha az adott halmaz tartalmazza a pontot ${\textstyle x}$. Ekkor a mérték értéke 1. Például: ${\textstyle \delta _{0}(A)=1}$, ha ${\textstyle 0\in A}$, és ${\textstyle 0}$, ha ${\textstyle 0\notin A}$. Ezt szokás úgy értelmezni, hogy az egész tömeg egyetlen pontban “koncentrálódik”.

---

Számláló mérték Nincs külön jelölése. Ez egyszerűen azt méri meg, hogy egy halmaznak hány eleme van. Formálisan: ${\textstyle \mu (A)=|A|}$, ha ${\textstyle A}$ véges, vagy az elemek számossága, ha megszámlálhatóan végtelen.

---

Valószínűségi mérték Jelölése: ${\textstyle \mathbb {P} }$ Ez olyan mérték, amely minden eseményhez (halmazhoz) egy valószínűséget rendel, és a teljes mértéke 1, azaz ${\textstyle \mathbb {P} (\Omega )=1}$, ahol ${\textstyle \Omega }$ az eseménytér. Ez képezi a valószínűségszámítás formális alapját.

---

---

📊 Jelentősége

• Lebesgue-integrál megengedi a „bonyolultabb” függvények integrálását is.
• Minden valószínűségi elmélet mögött ott van egy mértékelméleti struktúra.
• Szabályosítja, mit jelent egy esemény valószínűsége: ${\textstyle \mathbb {P} (A)=\mu (A)}$, ahol ${\textstyle \mu }$ valószínűségi mérték.

---

📎 Kapcsolódó fogalmak

• ${\textstyle L^{p}}$-terek: mértéktéren értelmezett függvényterek.
• Integrálható függvény: ha ${\textstyle \int |f|d\mu <\infty }$
• Nullhalmaz, mérhető függvény, Radon-Nikodym tétel, Fubini-tétel, stb.

További információk

• measure theory - Szótár.net (en-hu)
• measure theory - Sztaki (en-hu)
• measure theory - Merriam–Webster
• measure theory - Cambridge
• measure theory - WordNet
• measure theory - Яндекс (en-ru)
• measure theory - Google (en-hu)
• measure theory - Wikidata
• measure theory - Wikipédia (angol)