penalty method

Angol

Főnév

penalty method (tsz. penalty methods)

1. (informatika) A penalty method egy numerikus optimalizálási technika, amit egyenlőségi vagy egyenlőtlenségi feltételekkel korlátozott optimalizálási feladatok megoldására használnak. A módszer lényege, hogy a feltételeket be nem tartó megoldásokat megbüntetjük egy kiegészítő taggal az optimalizálandó célfüggvényben.

---

🧩 Alapprobléma

Általános formájú korlátozott optimalizálási feladat:

$$\min _{x\in \mathbb {R} ^{n}}f(x)\quad {\text{olyan }}x{\text{-re, hogy }}g_{i}(x)\leq 0,\;h_{j}(x)=0$$

• ${\textstyle f(x)}$: célfüggvény
• ${\textstyle g_{i}(x)}$: egyenlőtlenségi feltételek
• ${\textstyle h_{j}(x)}$: egyenlőségi feltételek

---

🎯 Penalty módszer célja

A korlátozott problémát egy korlátozás nélküli problémává alakítja át az alábbi formában:

$$\min _{x\in \mathbb {R} ^{n}}F(x,r)=f(x)+r\cdot P(x)$$

ahol:

• ${\textstyle r>0}$: büntető paraméter,
• ${\textstyle P(x)}$: büntetőfüggvény, amely nagy lesz, ha ${\textstyle x}$ megszegi a feltételeket.

---

📐 Tipikus büntetőfüggvények

Négyzetes büntetőtag (quadratic penalty):

$$P(x)=\sum _{j}h_{j}(x)^{2}+\sum _{i}\max(0,g_{i}(x))^{2}$$

• Egyenlőség: ${\textstyle h_{j}(x)=0}$ megszegése négyzetesen büntetve.
• Egyenlőtlenség: ha ${\textstyle g_{i}(x)>0}$, akkor sérti a feltételt.

---

🔁 Algoritmus vázlat

1. Válassz kezdőértéket ${\textstyle x^{(0)}}$ és büntetőparamétert ${\textstyle r^{(0)}}$.

2. Oldd meg az:

   $$\min _{x}f(x)+r^{(k)}P(x)$$

   feladatot.

3. Növeld ${\textstyle r^{(k)}\to r^{(k+1)}}$ (pl. ${\textstyle r^{(k+1)}=10\cdot r^{(k)}}$).

4. Ismételd, amíg a feltételek elég jól teljesülnek.

---

📊 Előnyök

• Átalakítja a nehéz korlátozott problémát könnyebben kezelhető, korlátozás nélküli formára.
• Használható meglévő numerikus optimalizálókkal.

⚠️ Hátrányok

• Nagy ${\textstyle r}$ → numerikus instabilitás.
• Lassú konvergencia lehet.
• A megoldás minősége érzékeny a büntetőtag formájára és skálájára.

---

🧠 Kapcsolódó módszerek

Módszer	Jellemző
Penalty method	Feltételek megsértéséért büntetést adunk a célfüggvényhez.
Barrier method	Feltételek megsértését lehetetlenné tesszük (pl. log-gátfüggvények).
Augmented Lagrangian	Kombinálja a penalty és Lagrange-módszert, jobb numerikus stabilitás.

---

🧪 Egyszerű példa

Minimalizáljuk:

$$f(x)=(x-1)^{2}\quad {\text{feltétel: }}x\geq 2$$

Penalty függvény:

$$F(x)=(x-1)^{2}+r\cdot \max(0,2-x)^{2}$$

• Ha ${\textstyle x\geq 2}$, nincs büntetés.
• Ha ${\textstyle x<2}$, a célfüggvény nő a szabályszegés miatt.

További információk

• penalty method - Szótár.net (en-hu)
• penalty method - Sztaki (en-hu)
• penalty method - Merriam–Webster
• penalty method - Cambridge
• penalty method - WordNet
• penalty method - Яндекс (en-ru)
• penalty method - Google (en-hu)
• penalty method - Wikidata
• penalty method - Wikipédia (angol)