propositional calculus
Főnév
propositional calculus (tsz. propositional calculuses)
Propositional calculus – magyarul: kijelentéslogika vagy propozíciós kalkulus – a formális logika egyik ága, amely logikai kijelentések (állítások) vizsgálatával foglalkozik, és azok logikai kapcsolatokon (pl. ÉS, VAGY, NEM) keresztüli kombinációját, érvényességét és következményviszonyait tanulmányozza.
Ez a logika alapját képezi a matematikai bizonyításoknak, számítástudományi logikáknak, valamint digitális áramkörök és programozási nyelvek logikai szerkezetének.
🧠 1. Mi a kijelentéslogika?
A kijelentéslogika olyan formális rendszer, amelyben:
- Az alapelemek logikai kijelentések (pl. “Esik az eső.”)
- Minden kijelentésnek van egy logikai értéke: igaz (true) vagy hamis (false)
- Kijelentések logikai műveletekkel kombinálhatók
📦 2. Szintaxis: mi építi fel?
A kijelentéslogika formális nyelvként működik, amely az alábbi elemekből épül fel:
- Propozíciós változók: pl.
P,Q,R(egyszerű kijelentések) - Logikai műveletek (konnektorok):
- ¬P: tagadás (NOT)
- P ∧ Q: konjunkció (ÉS)
- P ∨ Q: diszjunkció (VAGY)
- P → Q: implikáció (HA P, AKKOR Q)
- P ↔ Q: ekvivalencia (akkor és csak akkor)
- Zárójelek a műveleti sorrend meghatározására
🔢 3. Szemantika: logikai értékek
A kijelentések logikai értéke függ a bennük szereplő változók értékétől és az alkalmazott műveletektől.
Példa:
| P | Q | P ∧ Q | P ∨ Q | P → Q | ¬P |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | F |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | F | T | T | T |
| F | F | F | F | T | T |
🧩 4. Formulák és jólformáltság
- Egy formula egy olyan kifejezés, amely szabályosan épül fel a szintaxis elemeiből.
- Egy jólformált formula (well-formed formula, WFF) pontosan követi a nyelv szintaktikai szabályait.
Példák:
- Jó:
P → (Q ∨ R) - Rossz:
→ P Q(hibás sorrend, hiányzó operátor)
📐 5. Logikai következtetés és érvényesség
- Egy formula tautológia, ha minden lehetséges igazságértékelés mellett igaz (pl.
P ∨ ¬P) - Egy formula ellentmondás, ha minden értékelésnél hamis
- Egy formula érvényes következmény más formulákból, ha bármikor, amikor az alapformulák igazak, akkor ez is igaz
🧪 6. Deduktív rendszerek
A kijelentéslogikában formális bizonyítási rendszerek vannak, amelyek szabályokat adnak meg, hogyan lehet egy állításból más állításokat levezetni.
Példák:
- Hilbert-rendszer: axiómák + következtetési szabályok
- Fitch-féle természetes dedukció
- Reszolvencia (Resolution): algoritmikus forma (pl. mesterséges intelligenciában)
- Számítógépes automatizálás: SAT-solverek, propozíciós bizonyításellenőrzők
🔄 7. Alkalmazások
- Digitális elektronika: logikai kapuk (AND, OR, NOT)
- Programozás: feltételes utasítások (if, while)
- Mesterséges intelligencia: következtető gépek, szabályalapú rendszerek
- Formális verifikáció: programok helyességének ellenőrzése
- Matematikai bizonyításelmélet
✅ 8. Példa: egyszerű következtetés
P → QPKövetkezmény:QEz a modus ponens, az egyik legegyszerűbb logikai következtetési szabály.
🧾 9. Összefoglalás
A propositional calculus:
- A formális logika alapja, kizárólag igaz/hamis értékekkel dolgozik
- Egyszerű kijelentések kombinálása logikai operátorokkal
- Lehetővé teszi logikai érvényesség, ellentmondás és következmények elemzését
- Alkalmazzák a matematikában, számítástechnikában, mesterséges intelligenciában, elektronikában
- propositional calculus - Szótár.net (en-hu)
- propositional calculus - Sztaki (en-hu)
- propositional calculus - Merriam–Webster
- propositional calculus - Cambridge
- propositional calculus - WordNet
- propositional calculus - Яндекс (en-ru)
- propositional calculus - Google (en-hu)
- propositional calculus - Wikidata
- propositional calculus - Wikipédia (angol)