radian

Angol

Főnév

radian (tsz. radians)

1. (informatika) radián

A radián a szögmérés egyik alapvető mértékegysége, amely a szög mértékének kifejezésére szolgál, elsősorban a matematikában, fizikában és mérnöki tudományokban. Míg a fok (°) történelmi és mindennapi használatban elterjedt, a radián az SI (Nemzetközi Mértékegységrendszer) hivatalos szögmértékegysége, és a legtöbb analitikus, trigonometrikus és integrálszámítási eljárásban természetes módon jelenik meg.

---

1. A radián definíciója

Egy radián az a középponti szög, amely egy kör sugarával megegyező hosszúságú ívet metsz ki a kör kerületéből. Formálisan:

1 radián = az a szög, amelyhez tartozó körívhossz megegyezik a sugárral.

Mivel egy teljes kör ívhossza: C = 2πr, és az egész körhöz 360° tartozik, ebből következik, hogy egy teljes kör 2π radián.

Tehát:

• 2π radián = 360°
• π radián = 180°
• 1 radián ≈ 57,2958°

---

2. Átváltás fok és radián között

A fok és a radián közti konverzió:

• Fok → Radián:

  $${\text{radián}}={\text{fok}}\times \left({\frac {\pi }{180}}\right)$$

• Radián → Fok:

  $${\text{fok}}={\text{radián}}\times \left({\frac {180}{\pi }}\right)$$

Példák:

• 30° = π/6 radián
• 90° = π/2 radián
• 1 radián ≈ 57,3°

---

3. Miért hasznos a radián?

A radián mérték matematikai szempontból természetesebb, mint a fok, mert:

1. Egyszerűsíti a trigonometrikus függvényeket:

   • Például:

     $$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$$

     Ez csak radiánban igaz!

2. Deriválás és integrálás:

   • Ha a trigonometrikus függvények szöge fokban van, a deriváltjuk további szorzó tényezőt tartalmaz.

   • Például:

     $${\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x\quad {\text{(csak radiánban)}}$$

3. Természetes összefüggések:

   • Az ívhossz kiszámítása:

     $$s=r\cdot \theta \quad {\text{(ha }}\theta {\text{ radiánban van)}}$$

     • Itt: ${\textstyle s}$ az ív hossza, ${\textstyle r}$ a sugár, ${\textstyle \theta }$ a szög.

---

4. Radián az SI rendszerben

A radián dimenzió nélküli mennyiség, mivel:

• A szög meghatározása:

  $$\theta ={\frac {\text{ívhossz}}{\text{sugár}}}={\frac {s}{r}}$$

• Ez egy hossz / hossz, tehát arány, vagyis tiszta szám.

Ennek ellenére külön mértékegységként kezelik, hogy megkülönböztessék más mennyiségektől, például a síkbeli vagy térbeli forgás szögétől.

---

5. Radián a trigonometrikus függvényekben

A trigonometrikus függvények — szinusz, koszinusz, tangens stb. — argumentuma (a bemenő szög) általában radiánban értelmezett. Ez azért lényeges, mert:

• A Taylor-sorok radiánban egyszerűek:

  $$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots$$

  $$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots$$

• Ha fokot használnánk, minden taghoz külön konverziós szorzó tartozna.

---

6. Radián a fizikában

A fizikában, különösen rezgések, hullámmozgás, körmozgás és elektromosságtan területén, a radián elengedhetetlen. Például:

• Szögsebesség:

  $$\omega ={\frac {d\theta }{dt}}\quad [{\text{radián/s}}]$$

• Periodikus mozgás:

  $$x(t)=A\sin(\omega t+\phi )$$

  Itt ${\textstyle \omega }$ radián/s egységű.

---

7. Radián és más szögmértékegységek

• Fok: 1 kör = 360°
• Radián: 1 kör = 2π rad
• Gradián (gon): 1 kör = 400 gon (francia rendszerben használt)

Radiánt legtöbbször matematikai és tudományos kontextusban használják, míg fokot a navigációban, térképezésben, vagy mindennapi beszédben.

---

8. Tört szögek radiánban

A radián természetesen támogatja a tört szögek kifejezését:

Szög (°)	Radián
30°	π / 6
45°	π / 4
60°	π / 3
90°	π / 2
120°	2π / 3
135°	3π / 4
180°	π
270°	3π / 2
360°	2π

---

9. Radiánban mért szögek előnye a mértani ábrázolásban

A trigonometrikus egységkörön a radiánban mért szögek arányosak a körív hosszával. Ez az ábrázolást is leegyszerűsíti:

• Minden szög egyenes arányban növeli az ívhosszt.
• Ezzel szemben a fok rendszer nem lineárisan kapcsolódik a π-hoz.

---

10. Összefoglalás

A radián egy egyszerű, természetes mértékegység a szög mérésére, amely nélkülözhetetlen a haladó matematikai és fizikai számításokban. Előnyei:

• Egyszerűsíti a képleteket
• Logikusan kapcsolódik a körívhez
• Természetes mértékegység a szögsebességhez
• Könnyű átváltani fok és radián között

Aki magas szinten foglalkozik matematikával, fizikával vagy mérnöki tudományokkal, annak a radiánban történő gondolkodás elengedhetetlen készség.

További információk

• radian - Szótár.net (en-hu)
• radian - Sztaki (en-hu)
• radian - Merriam–Webster
• radian - Cambridge
• radian - WordNet
• radian - Яндекс (en-ru)
• radian - Google (en-hu)
• radian - Wikidata
• radian - Wikipédia (angol)