rank of a matrix

Angol

Főnév

rank of a matrix (tsz. rank of a matrixes)

(informatika) mátrix rangja

A mátrix rangja (vagy ranga) a lineáris algebra egyik alapfogalma, amely megmutatja, hogy a mátrix sorai vagy oszlopai közül hány lineárisan független. Ez egyben azt is jelenti, hogy a mátrix által kifeszített vektortér dimenziója.

📘 Definíció:

Egy ${\textstyle A}$ mátrix rangja, jele ${\textstyle {\text{rang}}(A)}$ , a következőkkel egyenlő:

A lineárisan független sorok maximális száma (sorrang)

A lineárisan független oszlopok maximális száma (oszloprang)

Fontos tétel:

${\text{rang}}(A)={\text{sorrang}}(A)={\text{oszloprang}}(A)$

🧮 A rang meghatározása

A leggyakoribb módszer: Gauss-elimináció (sorműveletekkel):

A mátrixot alakítsuk sor lépcsős alakra (row echelon form).
Számoljuk meg a nem zérus sorokat – ez lesz a rang.

✅ Példa:

Legyen:

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{bmatrix}}$

Sorműveletek:

${\textstyle R_{2}\gets R_{2}-2R_{1}\rightarrow [0\ 0\ 0]}$
${\textstyle R_{3}\gets R_{3}-3R_{1}\rightarrow [0\ 0\ 0]}$

Kapjuk:

${\begin{bmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$

Ez 1 nem zérus sort tartalmaz → rang = 1

📌 Tulajdonságok:

${\textstyle {\text{rang}}(A)\leq \min(m,n)}$ , ha ${\textstyle A}$ egy ${\textstyle m\times n}$ méretű mátrix
Ha ${\textstyle {\text{rang}}(A)=n}$ , akkor az oszlopok lineárisan függetlenek
Ha ${\textstyle {\text{rang}}(A)=m}$ , akkor a sorok lineárisan függetlenek
${\textstyle {\text{rang}}(AB)\leq \min({\text{rang}}(A),{\text{rang}}(B))}$
Ha ${\textstyle A}$ egy invertálható ${\textstyle n\times n}$ -es négyzetes mátrix, akkor ${\textstyle {\text{rang}}(A)=n}$