series expansion

Angol

Főnév

series expansion (tsz. series expansions)

(informatika) sorfejtés

A series expansion (sorfejtés) egy matematikai módszer, amellyel egy bonyolult függvényt kifejezhetünk végtelen sorozat formájában, általában egyszerűbb (pl. hatvány) tagok összegeként. A cél: a függvényt megközelíteni vagy ábrázolni polinomokkal, amelyekkel sokkal könnyebb számolni.

1. Mi az a sorfejtés?

A sorfejtés egy függvény olyan alakja, ahol összeadott végtelen tagok közelítik vagy azonosak vele.

Formája:

$f(x)=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots$

– ahol:

${\textstyle c}$ : a sorfejtési pont
${\textstyle a_{n}}$ : a sor tagjainak együtthatói
A sor lehet véges vagy végtelen

2. Legismertebb típusok

a) Taylor-sor

Ha a függvény differenciálható, akkor a Taylor-sor a deriváltak alapján közelíti:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}(x-c)^{n}$

Különleges eset: ha ${\textstyle c=0}$ , akkor Maclaurin-sor.

b) Fourier-sor

Függvényeket nem hatványokkal, hanem szinuszok és koszinuszok kombinációjával közelít:

$f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)]$

Különösen fontos periodikus jelek, pl. hanghullámok feldolgozásában.

c) Laurent-sor

Komplex függvények esetén használható, és negatív hatványokat is tartalmazhat:

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$

3. Sorfejtés előnyei

Bonyolult függvények numerikus közelítése
Deriválás, integrálás egyszerűbb soronként
Differenciálegyenletek megoldása sorformában
Számítógépes algoritmusok (pl. trigonometrikus függvények gyors számítása)

4. Példák ismert sorfejtésekre

a) Exponenciális függvény:

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots$

b) Szinusz:

$\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots$

c) Koszinusz:

$\cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots$

d) Logaritmus (|x| < 1):

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots$

5. Konvergencia

Nem minden sor konvergál minden ponton!

A sor csak ott értelmezhető, ahol az összege véges – ez a konvergencia tartomány.

Példa:

$\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}={\frac {1}{1-x}},\quad {\text{csak ha }}|x|<1$

Ahol a sor nem konvergál, ott nem használható a közelítés.

6. Hiba becslése

A végtelen sor helyett gyakran csak néhány tagot veszünk figyelembe. Az így kapott közelítéshez tartozik egy maradéktag vagy hiba, amit lehet becsülni:

Taylor-sornál:

$R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-c)^{n+1},\quad {\text{valamilyen }}\xi \in (c,x)$

7. C++ példa – ${\textstyle \sin(x)}$ sorfejtése

#include <iostream>
#include <cmath>

long double factorial(int n) {
    long double result = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) result *= i;
    return result;
}

long double sin_series(double x, int terms) {
    long double sum = 0;
    for (int n = 0; n < terms; ++n) {
        long double term = pow(-1, n) * pow(x, 2 * n + 1) / factorial(2 * n + 1);
        sum += term;
    }
    return sum;
}

int main() {
    double x;
    int n;
    std::cout << "Add meg x értékét (radiánban): ";
    std::cin >> x;
    std::cout << "Hány tagból álljon a közelítés?: ";
    std::cin >> n;

    std::cout << "sin(" << x << ") sorfejtéssel ≈ " << sin_series(x, n) << "\n";
    std::cout << "Valódi sin(x): " << sin(x) << "\n";
    return 0;
}

8. További sorok típusai

Binomiális sor:

$(1+x)^{r}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r}{n}}x^{n}\quad (|x|<1)$
Geometriai sor:

$1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-x}}\quad (|x|<1)$
Legendre-, Laguerre-, Hermite-polinomsorok: speciális feladatokhoz, fizikai problémákhoz

9. Miért tanuljunk sorfejtést?

Numerikus közelítés: processzor nem „tudja” kiszámítani a ${\textstyle \sin }$ , ${\textstyle \exp }$ , ${\textstyle \ln }$ értékeket – sorfejtéssel számol
Differenciálegyenletek megoldása
Modellek egyszerűsítése: sokszor lineáris közelítés is elegendő
Analízis alapja: végtelen sorok elmélete

10. Összefoglalás

A series expansion egy eszköz arra, hogy függvényeket sorozatokkal közelítsünk vagy írjunk fel. A legismertebb:

Taylor-sor: deriváltak alapján
Fourier-sor: trigonometrikus tagok alapján
Laurent-sor: komplex függvényekre

A sorfejtés:

megkönnyíti a számítást
mélyebb betekintést ad a függvények szerkezetébe
kulcseszköz a matematikai analízisben és a fizikai modellezésben

További információk

series expansion - Szótár.net (en-hu)
series expansion - Sztaki (en-hu)
series expansion - Merriam–Webster
series expansion - Cambridge
series expansion - WordNet
series expansion - Яндекс (en-ru)
series expansion - Google (en-hu)
series expansion - Wikidata
series expansion - Wikipédia (angol)