steradian

Angol

Főnév

steradian (tsz. steradians)

1. (informatika) szteradián

---

A steradián (jele: sr) a térszög SI-mértékegysége. A síkbeli szögekhez hasonlóan a térszög is egy geometriai viszonyt fejez ki – azonban nem egy síkban, hanem háromdimenziós térben. Míg a radián (rad) egy síkban két egyenes által bezárt szöget jellemez, a steradián a gömb középpontjából kiinduló kúp által bezárt térszög mértékegysége. A térszög olyan mennyiség, amely meghatározza, hogy egy test mekkora “látszólagos felületet” foglal el a megfigyelési pontból nézve.

---

1. A steradián definíciója

Egy steradián az a térszög, amely egy egységsugarú (1 m sugarú) gömb felületéből 1 négyzetméter területű darabot “vág ki”.

Matematikai definíció:

A térszög ${\textstyle \Omega }$ steradiánban mérve:

$$\Omega ={\frac {A}{r^{2}}}$$

ahol:

• ${\textstyle A}$ = a gömbfelület kivágott része (m²)
• ${\textstyle r}$ = a gömb sugara (m)

Tehát ha:

• ${\textstyle A=1\ {\text{m}}^{2}}$
• ${\textstyle r=1\ {\text{m}}}$

akkor:

$$\Omega ={\frac {1}{1^{2}}}=1\ {\text{sr}}$$

---

2. A teljes gömb térszöge

Egy teljes gömb teljes felülete:

$$A=4\pi r^{2}$$

Ha behelyettesítjük az előző képletbe:

$$\Omega _{\text{teljes gömb}}={\frac {4\pi r^{2}}{r^{2}}}=4\pi \ {\text{sr}}$$

Ez azt jelenti:

• Egy teljes gömb térszöge:

  $$4\pi \ {\text{sr}}\approx 12{,}566\ {\text{sr}}$$

• A steradián tehát a teljes gömb térszögének 1/12,566-od része.

---

3. Kapcsolat a radiánnal

A radián (rad) a síkbeli szög mértékegysége. Egy teljes kör 2π radián. A térszög ennek térbeli megfelelője:

• Radián: síkszög, ${\textstyle \theta ={\frac {s}{r}}}$ (ívhossz osztva sugárral)
• Steradián: térszög, ${\textstyle \Omega ={\frac {A}{r^{2}}}}$ (felület osztva a sugár négyzetével)

Ezért a steradián dimenzió nélküli származtatott SI-egység, azaz nincs önálló mértékegysége, de külön jelet kap (sr), hogy egyértelmű legyen, térszöget mér.

---

4. Térszög gyakorlati példákban

Példa 1: Zseblámpa

Ha egy zseblámpa kúp alakban világít, a fény szögtartományát térszögben adhatjuk meg:

• Minél nagyobb a kúpnyílás szöge, annál nagyobb a lefedett térszög.
• Ha egy zseblámpa 1 sr térszögben világít, akkor az fényének vetülete egy 1 m²-es kör lenne egy 1 m távolságra lévő falon.

Példa 2: Égbolt

A teljes égbolt térszöge:

• 4π sr, mivel a teljes gömb térszöge ennyi.
• Egy pontos pontforrás (pl. csillag) a gömbnek csak egy parányi részét fedi le.
• Az emberi szem látótere kb. π sr (félgömb).

---

5. Térszög gömbi koordinátarendszerben

A térszög kiszámítható gömbi koordinátákkal:

$$d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\phi$$

ahol:

• ${\textstyle \theta }$ = póláris szög (0-tól π-ig),
• ${\textstyle \phi }$ = azimutális szög (0-tól 2π-ig)

Ha ${\textstyle \theta =0}$ és ${\textstyle \phi =0}$, akkor a térszög egyetlen irányra mutat. Ha integráljuk a fenti differenciált egy teljes gömbre, akkor:

$$\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \,d\phi =4\pi \ {\text{sr}}$$

---

6. Alkalmazásai

A steradián mint egység fontos szerepet játszik az olyan fizikai mennyiségekben, amelyek térszöget is figyelembe vesznek.

a) Fényerősség (candela)

A candela definíciója szerint:

• 1 candela olyan fényforrás fényerőssége, amely 1/683 watt optikai teljesítményt sugároz 1 steradián térszögben, 555 nm hullámhosszon (zöld fény).

Ezáltal a lumen (fényáram) is kapcsolatba kerül a steradiánnal:

$$1\ {\text{lumen}}=1\ {\text{candela}}\cdot 1\ {\text{steradián}}$$

b) Sugárzási teljesítmény, intenzitás

• A sugárzási intenzitást (I) gyakran W/sr (watt per steradián) egységgel adják meg.
• Ez megmutatja, hogy adott irányban mekkora teljesítmény jut egy térszögre.

c) Asztrofizika, kozmológia

• A fényeség, a galaxisok eloszlása, az égbolt leképezése gyakran sr-ben történik.
• A Planck-szonda, a CMB (kozmikus mikrohullámú háttérsugárzás) mérései is térszög-alapú leképezéseken alapulnak.

---

7. Átváltás szögekből

Egy kúpszögből (pl. derékszögű kúp) meghatározható a hozzá tartozó térszög:

Ha egy kúp nyílásszöge ${\textstyle \theta }$, akkor a térszög:

$$\Omega =2\pi \left(1-\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)$$

Példa: térszög kiszámítása adott kúpszögből

Tegyük fel, hogy van egy fénykúp (pl. egy zseblámpa), amely 60 fokos nyílásszöggel világít.

Ez a nyílásszög a kúp teljes szögét jelenti, tehát a fél szög (amit a képletben használunk):

$$\theta ={\frac {60^{\circ }}{2}}=30^{\circ }$$

A kúppal határolt térszög kiszámítható az alábbi képlettel:

$$\Omega =2\pi \left(1-\cos \theta \right)$$

ahol:

• ${\textstyle \Omega }$ a térszög steradiánban,
• ${\textstyle \theta }$ a kúp fél nyílásszöge (radianban!).

---

Átváltás fokból radiánba:

$$30^{\circ }={\frac {\pi }{6}}\approx 0{,}5236\ {\text{radian}}$$

Most behelyettesítjük:

$$\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)=\cos(30^{\circ })\approx 0{,}866$$

$$\Omega =2\pi (1-0{,}866)=2\pi \cdot 0{,}134\approx 0{,}84\ {\text{steradián}}$$

---

Eredmény:

Egy 60° nyílásszögű fénykúp (30° félkúpszög) kb. 0,84 steradián térszöget fed le.

Ez a teljes gömb (4π ≈ 12,566 steradián) körülbelül 6,7%-át jelenti.

---

8. Mértékegységtani besorolás

A steradián:

• Származtatott egység az SI-ben,
• Dimenzió nélküli (egységtelen) számként kezeljük,
• De külön SI-jele van: sr, hogy egyértelműen térszögre utaljon.

---

9. Történet

A steradián fogalmát a 19. században vezették be, amikor a fénytan, sugárzásfizika és geometria egyre szorosabban összefonódott. Az SI-rendszer 1960-as bevezetésekor hivatalosan is elismerte a steradiánt, mint a térszög szabványos mértékegységét.

---

10. Összefoglalás

Tulajdonság	Részletek
Egység neve	steradián
Jele	sr
Fizikai mennyiség	térszög
SI-hovatartozás	származtatott SI-egység
Dimenziója	nincs (dimenzió nélküli)
Teljes gömb térszöge	4π sr (kb. 12,566 sr)
Példák	candela, lumen, égbolt, sugárzás
Átváltás gömbfelületből	Ω = A / r²

További információk

• steradian - Szótár.net (en-hu)
• steradian - Sztaki (en-hu)
• steradian - Merriam–Webster
• steradian - Cambridge
• steradian - WordNet
• steradian - Яндекс (en-ru)
• steradian - Google (en-hu)
• steradian - Wikidata
• steradian - Wikipédia (angol)