topological vector space

Angol

Főnév

topological vector space (tsz. topological vector spaces)

(informatika) A topologikus vektortér (angolul topological vector space, röviden TVS) egy matematikai struktúra, amely a lineáris algebra (vektorterek) és az általános topológia fogalmait egyesíti. Ez a koncepció kulcsfontosságú az analízis különféle ágaiban, különösen a funkcionálanalízisben, ahol gyakran dolgozunk vektorokkal, amelyek nemcsak algebrai, hanem topológiai tulajdonságokkal is rendelkeznek.

1. Alapfogalmak

Vektortér

Egy vektortér egy olyan halmaz, amelyen értelmezve van az összeadás és a skalárral való szorzás művelete. A vektorok egy tetszőleges test (például ${\textstyle \mathbb {R} }$ vagy ${\textstyle \mathbb {C} }$ ) fölött értelmezettek, és a műveletek megfelelnek bizonyos axiómáknak (asszociativitás, kommutativitás, disztributivitás stb.).

Topológia

A topológia egy olyan struktúra egy halmazon, amely meghatározza, hogy mit tekintünk “nyílt halmaznak”. Ez lehetővé teszi a folytonosság, a konvergencia, a határpont fogalmának formalizálását.

2. Definíció

Egy topologikus vektortér olyan vektortér, amelyen egy topológia is értelmezve van, úgy hogy:

A vektorösszeadás: ${\textstyle +:V\times V\to V,\quad (x,y)\mapsto x+y}$ folytonos függvény a topológia szerint.
A skalárral való szorzás: ${\textstyle \cdot$ szintén folytonos.

Itt ${\textstyle \mathbb {K} }$ lehet ${\textstyle \mathbb {R} }$ vagy ${\textstyle \mathbb {C} }$ .

3. Példák

a) ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ vagy ${\textstyle \mathbb {C} ^{n}}$ normával

A legegyszerűbb példák az ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ vagy ${\textstyle \mathbb {C} ^{n}}$ vektorterek az euklideszi normával ( ${\textstyle \|x\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}}$ ), amely meghatároz egy metrikát és így topológiát.

b) Végtelen dimenziós terek

${\textstyle C([a,b])}$ : folytonos függvények tere egy zárt intervallumon, a szuprémum normával: ${\textstyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|}$ .
${\textstyle L^{p}}$ terek ( ${\textstyle 1\leq p\leq \infty }$ ): integrálható függvények osztályai a ${\textstyle p}$ -edik hatvány szerinti integrál alapján definiált normával.
${\textstyle \ell ^{p}}$ : sorozatok tere, amelyek ${\textstyle p}$ -edik hatványának összege véges.

c) Gyenge topológia

Egy Banach-téren definiálhatunk gyengébb topológiát, ahol a konvergencia nem a normára, hanem a funkcionálok értékeire alapul. Ez is topologikus vektortér.

4. Tulajdonságok

a) Hausdorff-tulajdonság

Egy TVS akkor jó, ha Hausdorff, vagyis minden két különböző pont elválasztható nyílt halmazokkal. Ez biztosítja a jól viselkedő konvergenciát.

b) Bázis a nullpont körül

Egy fontos sajátosság, hogy a topológia meghatározható egy bázissal a nullvektor körül, és az egész tér topológiája ebből származtatható az eltolásokkal.

c) Bal és jobb folytonosság

A vektorösszeadás és skalárszorzás műveletek együttesen folytonosak. Ez fontosabb, mintha csak külön-külön lennének folytonosak.

5. Lokálisan konvex terek

Sok alkalmazásban a lokálisan konvex topologikus vektorterek a legfontosabbak.

Definíció: Egy TVS lokálisan konvex, ha van olyan bázisa a nullvektor körül, amely konvex halmazokból áll.

Konvex halmaz: ha ${\textstyle x,y}$ a halmazban, akkor ${\textstyle \lambda x+(1-\lambda )y}$ is ott van, minden ${\textstyle \lambda \in [0,1]}$ .

Ezeket terek gyakran félnormák (nem feltétlenül szimmetrikus vagy pozitív definit) családjával definiálják.

6. Metrizálhatóság

Nem minden TVS metrizálható, de ha van egy számlálható bázis a nullvektor körül, akkor a tér metrizálható (és így elsőrendű topologikus tér).

A normált terek mindig metrizálhatók, a norma által indukált metrikával: ${\textstyle d(x,y)=\|x-y\|}$

7. Folytonos lineáris leképezések

Egy TVS-ben a lineáris leképezés ${\textstyle T:V\to W}$ akkor folytonos, ha a topológiák szerint folytonos függvény. A funkcionálanalízis szempontjából ezek a leképezések különösen fontosak.

A lineáris leképezések halmaza gyakran maga is topologikus vektortérré tehető.

8. Dualitás

A duáltér ${\textstyle V'}$ a folytonos lineáris funkcionálok tere: ${\textstyle f:V\to \mathbb {K} }$ . Ez maga is vektortér, sőt TVS, ha megfelelő topológiával látjuk el (például gyenge* topológiával).

9. Fontos tételek

a) Hahn–Banach-tétel

Lokálisan konvex TVS-ekben is érvényes: egy lineáris funkcionál kiterjeszthető az egész térre úgy, hogy megmaradjon a folytonosság.

b) Banach–Steinhaus-tétel

A uniform boundedness principle szerint ha egy operátorgyűjtemény pontonként korlátos, akkor normában is korlátos.

c) Nyílt leképezés tétele

Egy szürjektív folytonos lineáris leképezés nyílt is.

10. Alkalmazások

Funkcionálanalízis: Hilbert-, Banach- és Fréchet-terek mind TVS-ek.
Parciális differenciálegyenletek: Megoldásterületek gyakran topologikus vektorterek.
Disztribúcióelmélet: A tesztfüggvények tere és disztribúciók tere TVS-ként definiált.
Fourier-analízis: Sok alkalmazott tér (például Schwartz-tér) lokálisan konvex topologikus vektortér.

11. Fréchet-tér

Olyan TVS, amely:

teljes,
metrizálható,
lokálisan konvex.

Fontos példák: ${\textstyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ , a végtelenszer differenciálható függvények tere.

12. Topologikus modultér

Ha a skalárokat nem ${\textstyle \mathbb {R} }$ vagy ${\textstyle \mathbb {C} }$ , hanem egy topologikus gyűrűből vesszük, akkor topologikus modulteret kapunk – ez a TVS általánosítása.

13. Történeti megjegyzés

A TVS fogalma a 20. század elején alakult ki a funkcionálanalízis szükségletei miatt. A normált terek fogalmát is általánosítani kellett, hogy kezelni tudják például a gyenge konvergenciát, vagy disztribúciókat.

Összefoglalás

A topologikus vektortér egy hatékony matematikai struktúra, amely lehetővé teszi az analízis mélyebb vizsgálatát. Különféle példák – mint a Hilbert-, Banach-, Fréchet-terek, illetve az ${\textstyle L^{p}}$ vagy ${\textstyle C([a,b])}$ terek – TVS-ként értelmezhetők. Az ilyen struktúrák kulcsfontosságúak az alkalmazott matematikában, fizikai modellezésben, kvantummechanikában, és mindenhol, ahol a függvények térbeli viselkedésének elemzése szükséges.

További információk

topological vector space - Szótár.net (en-hu)
topological vector space - Sztaki (en-hu)
topological vector space - Merriam–Webster
topological vector space - Cambridge
topological vector space - WordNet
topological vector space - Яндекс (en-ru)
topological vector space - Google (en-hu)
topological vector space - Wikidata
topological vector space - Wikipédia (angol)

v t e analysis in topological vector spaces
basic concepts	abstract wiener space classical wiener space bochner space convex series cylinder set measure infinite-dimensional vector function matrix calculus vector calculus
derivatives	differentiable vector-valued functions from euclidean space differentiation in fréchet spaces fréchet derivative total functional derivative gateaux derivative directional generalizations of the derivative hadamard derivative holomorphic quasi-derivative
measurability	besov measure cylinder set measure canonical gaussian classical wiener measure measure like set functions infinite-dimensional gaussian measure projection-valued vector bochner / weakly / strongly measurable function radonifying function
integrals	bochner direct integral dunford gelfand–pettis/weak regulated paley–wiener
results	cameron–martin theorem inverse function theorem nash–moser theorem feldman–hájek theorem no infinite-dimensional lebesgue measure sazonov's theorem structure theorem for gaussian measures
related	crinkled arc covariance operator
functional calculus	borel functional calculus continuous functional calculus holomorphic functional calculus
applications	banach manifold (bundle) convenient vector space choquet theory fréchet manifold hilbert manifold