valószínűségszámítás

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈvɒloːsiːnyːʃeːksaːmiːtaːʃ]

Főnév

valószínűségszámítás

1. (matematika, valószínűségszámítás)

A valószínűségszámítás a matematika egy ága, amely a véletlenszerű jelenségek modellezésével, elemzésével és előrejelzésével foglalkozik. Ez az eszköz alapvető fontosságú számos tudományterületen, beleértve a statisztikát, a fizikát, a biológiát, a közgazdaságtant és a gépi tanulást.

Alapfogalmak

Mintatér (Omega)

A mintatér ($\Omega$) az összes lehetséges kimenetel halmaza egy adott kísérletben.

• Példa: Egy érme feldobásakor $\Omega =\{F,I\}$, ahol $F$ a fej, $I$ az írás.

Események

Egy esemény az alapmintatér részhalmaza.

• Példa: Az a kimenetel, hogy az érme fej lesz ($A=\{F\}$).

Valószínűség (P)

A valószínűség egy függvény, amely egy eseményhez $[0,1]$-beli számot rendel, és teljesíti Kolmogorov axiómáit: 1. $P(A)\geq 0$ minden $A\subseteq \Omega$-ra. 2. $P(\Omega )=1$. 3. Ha $A$ és $B$ egymást kizáró események, akkor $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

Feltételes valószínűség

Egy esemény valószínűsége feltéve, hogy egy másik esemény bekövetkezett: $P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}},\quad P(B)>0.$

Függetlenség

Két esemény $A$ és $B$ független, ha: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).$

Fontos tételek

Teljes valószínűség tétele

Ha $B_{1},B_{2},\ldots ,B_{n}$ egymást kizáró események és $\cup _{i=1}^{n}B_{i}=\Omega$, akkor bármely $A$-ra: $P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(A|B_{i})\cdot P(B_{i}).$

Bayes-tétel

A Bayes-tétel segítségével egy feltételes valószínűséget visszafelé számolhatunk: $P(B_{i}|A)={\frac {P(A|B_{i})\cdot P(B_{i})}{\sum _{j=1}^{n}P(A|B_{j})\cdot P(B_{j})}}.$

Diszkrét valószínűségi eloszlások

Bernoulli eloszlás

Egyszeri kísérlet két lehetséges kimenettel (siker vagy kudarc).

• Valószínűségi függvény:

$P(X=k)=p^{k}\cdot (1-p)^{1-k},\quad k=0,1.$

• Várható érték: $E(X)=p$.
• Szórás: $\sigma (X)={\sqrt {p(1-p)}}$.

Binomiális eloszlás

Egy $n$ számú független Bernoulli-kísérlet során a sikerek száma.

• Valószínűségi függvény:

$P(X=k)={\binom {n}{k}}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}.$

• Várható érték: $E(X)=n\cdot p$.
• Szórás: $\sigma (X)={\sqrt {n\cdot p\cdot (1-p)}}$.

Geometriai eloszlás

Az első sikerig tartó kísérletek száma.

• Valószínűségi függvény:

$P(X=k)=(1-p)^{k-1}\cdot p.$

• Várható érték: $E(X)={\frac {1}{p}}$.
• Szórás: $\sigma (X)={\frac {\sqrt {1-p}}{p}}$.

Poisson eloszlás

Egy adott időszakban bekövetkező ritka események száma.

• Valószínűségi függvény:

$P(X=k)={\frac {\lambda ^{k}\cdot e^{-\lambda }}{k!}}.$

• Várható érték: $E(X)=\lambda$.
• Szórás: $\sigma (X)={\sqrt {\lambda }}$.

Folytonos valószínűségi eloszlások

Egyenletes eloszlás

Egy $[a,b]$ intervallumon belül az összes érték egyenlő valószínűséggel fordul elő.

• Sűrűségfüggvény:

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}},&{\text{ha }}a\leq x\leq b,\\0,&{\text{egyébként.}}\end{cases}}$

• Várható érték: $E(X)={\frac {a+b}{2}}$.
• Szórás: $\sigma (X)={\frac {b-a}{\sqrt {12}}}$.

Normális eloszlás

Sok véletlen hatás eredményeként kialakuló eloszlás.

• Sűrűségfüggvény:

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\cdot e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}.$

• Várható érték: $\mu$.
• Szórás: $\sigma$.

Gyakorlati alkalmazások

A valószínűségszámítást széles körben alkalmazzák:

• Statisztika: Mintavétel és hipotézisvizsgálat.
• Fizika: Kvantummechanikai jelenségek modellezése.
• Közgazdaságtan: Piaci kockázatok elemzése.
• Gépi tanulás: Valószínűségi modellek a predikcióhoz.
• Biológia: Genetikai kísérletek elemzése.

Összefoglalás

A valószínűségszámítás alapvető eszköz a bizonytalanság kezelésekor. Az elméleti alapok, mint Kolmogorov axiómái, valamint a gyakorlati eloszlások és tételek együttesen teszik lehetővé a valószínűségi modellek alkalmazását a valós élet problémáiban.

Fordítások

• angol: probability theory (en)
• francia: théorie des probabilités (fr)
• német: Wahrscheinlichkeitsrechnung (de)
• orosz: теория вероятности (ru) (teorija verojatnosti)

További információk

• valószínűségszámítás - Értelmező szótár (MEK)
• valószínűségszámítás - Etimológiai szótár (UMIL)
• valószínűségszámítás - Szótár.net (hu-hu)
• valószínűségszámítás - DeepL (hu-de)
• valószínűségszámítás - Яндекс (hu-ru)
• valószínűségszámítás - Google (hu-en)
• valószínűségszámítás - Helyesírási szótár (MTA)
• valószínűségszámítás - Wikidata
• valószínűségszámítás - Wikipédia (magyar)