vector norm

Angol

Főnév

vector norm (tsz. vector norms)

1. (informatika) A vektornorma egy olyan függvény, amely egy vektorhoz hozzárendel egy nemnegatív valós számot, ami a vektor „nagyságát” vagy „hosszát” méri. Ez az érték nemcsak a geometriában, hanem szinte minden numerikus és gépi tanulási alkalmazásban is központi szerepet játszik.

---

🧠 Formális definíció

Legyen ${\textstyle V}$ egy vektortér. Egy ${\textstyle \|\cdot \|:V\to \mathbb {R} }$ norma, ha minden ${\textstyle x,y\in V}$ és ${\textstyle \alpha \in \mathbb {R} }$ (vagy ${\textstyle \mathbb {C} }$) esetén teljesül:

1. Pozitív definit:

   $$\|x\|\geq 0,\quad \|x\|=0\iff x=0$$

2. Homogenitás (skalárszorzás):

   $$\|\alpha x\|=|\alpha |\cdot \|x\|$$

3. Háromszög-egyenlőtlenség:

   $$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$$

---

🔢 Gyakori vektornormák

1. 2-norma (Euklideszi norma)

$$\|x\|_{2}={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}}$$

• A vektor geometriai hosszát adja.
• Leggyakrabban használt norma.
• Megfelel a Pitagorasz-tétel szerinti hosszdefiníciónak.

---

2. 1-norma (Manhattan-norma)

$$\|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|$$

• A vektor elemeinek abszolútérték összege.
• Különösen hasznos LASSO regularizációban (gépi tanulásban).

---

3. ∞-norma (max norm)

$$\|x\|_{\infty }=\max _{i}|x_{i}|$$

• A legnagyobb abszolút értékű komponens.
• Konzervatív távolságmérés.

---

4. p-norma (általános forma)

$$\|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p},\quad p\geq 1$$

• Általánosítás, amelyből az 1-, 2- és ∞-normák is származnak.
• A ${\textstyle p\to \infty }$ határeset az ∞-normát adja.

---

📌 Példák számolásra

Legyen ${\textstyle x=(3,-4)}$

• ${\textstyle \|x\|_{2}={\sqrt {3^{2}+(-4)^{2}}}={\sqrt {25}}=5}$
• ${\textstyle \|x\|_{1}=|3|+|-4|=7}$
• ${\textstyle \|x\|_{\infty }=\max(|3|,|4|)=4}$

---

🧭 Mire használjuk a vektornormát?

Alkalmazás	Jelentés
Távolságmérés	Pl. gépi tanulásban pontok közti különbség
Normalizálás	Egységvektor készítése: ${\textstyle {\hat {x}}={\frac {x}{\|x\|}}}$
Regularizáció	ML-ben: L1 / L2 büntetések a túltanulás ellen
Konvergencia vizsgálata	Iteratív algoritmusokban

---

🔁 Összehasonlító táblázat

Norma	Formula	Jelentés
${\textstyle \|x\|_{2}}$	${\textstyle {\sqrt {\sum x_{i}^{2}}}}$	Euklideszi hossz
${\textstyle \|x\|_{1}}$	${\textstyle \sum |x_{i}|}$	Összeg (Manhattan)
${\textstyle \|x\|_{\infty }}$	${\textstyle \max _{i}|x_{i}|}$	Legnagyobb komponens
${\textstyle \|x\|_{p}}$	${\textstyle \left(\sum |x_{i}|^{p}\right)^{1/p}}$	Általánosított norma

---

📜 Megjegyzés

A normák mértani értelemben „gömböket” határoznak meg a térben:

• 2-norma: kör/szféra
• 1-norma: rombusz/gyémánt
• ∞-norma: négyzet/kocka

Ezek fontosak például optimizálási régiók és konvergenciatartományok definiálásához.

---

🧑‍💻 Kód példa (Python)

import numpy as np

x = np.array([3, -4])
print("2-norma:", np.linalg.norm(x))           # 5.0
print("1-norma:", np.linalg.norm(x, ord=1))    # 7.0
print("∞-norma:", np.linalg.norm(x, ord=np.inf))  # 4.0

---

🎯 Összefoglalás

A vektornorma alapfogalom minden vektortéren belül:

• A vektorok nagyságát adja meg
• Segít távolság, irány, normalizálás, stabilitás, konvergencia vizsgálatában
• Többféle norma létezik, célfüggő választással

További információk

• vector norm - Szótár.net (en-hu)
• vector norm - Sztaki (en-hu)
• vector norm - Merriam–Webster
• vector norm - Cambridge
• vector norm - WordNet
• vector norm - Яндекс (en-ru)
• vector norm - Google (en-hu)
• vector norm - Wikidata
• vector norm - Wikipédia (angol)