vector norm

Angol

Főnév

vector norm (tsz. vector norms)

(informatika) A vektornorma egy olyan függvény, amely egy vektorhoz hozzárendel egy nemnegatív valós számot, ami a vektor „nagyságát” vagy „hosszát” méri. Ez az érték nemcsak a geometriában, hanem szinte minden numerikus és gépi tanulási alkalmazásban is központi szerepet játszik.

🧠 Formális definíció

Legyen $V$ egy vektortér. Egy $‖ \cdot ‖ : V \to ℝ$ norma, ha minden $x, y \in V$ és $α \in ℝ$ (vagy $ℂ$ ) esetén teljesül:

Pozitív definit:

$‖ x ‖ \geq 0, ‖ x ‖ = 0 ⟺ x = 0$
Homogenitás (skalárszorzás):

$‖ α x ‖ = | α | \cdot ‖ x ‖$
Háromszög-egyenlőtlenség:

$‖ x + y ‖ \leq ‖ x ‖ + ‖ y ‖$

🔢 Gyakori vektornormák

1. 2-norma (Euklideszi norma)

$‖ x ‖_{2} = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}$

A vektor geometriai hosszát adja.
Leggyakrabban használt norma.
Megfelel a Pitagorasz-tétel szerinti hosszdefiníciónak.

2. 1-norma (Manhattan-norma)

$‖ x ‖_{1} = \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} |$

A vektor elemeinek abszolútérték összege.
Különösen hasznos LASSO regularizációban (gépi tanulásban).

3. ∞-norma (max norm)

$‖ x ‖_{\infty} = max_{i} | x_{i} |$

A legnagyobb abszolút értékű komponens.
Konzervatív távolságmérés.

4. p-norma (általános forma)

$‖ x ‖_{p} = {(\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} |^{p})}^{1 / p}, p \geq 1$

Általánosítás, amelyből az 1-, 2- és ∞-normák is származnak.
A $p \to \infty$ határeset az ∞-normát adja.

📌 Példák számolásra

Legyen $x = (3, - 4)$

$‖ x ‖_{2} = \sqrt{3^{2} + (- 4)^{2}} = \sqrt{25} = 5$
$‖ x ‖_{1} = | 3 | + | - 4 | = 7$
$‖ x ‖_{\infty} = max (| 3 |, | 4 |) = 4$

🧭 Mire használjuk a vektornormát?

Alkalmazás	Jelentés
Távolságmérés	Pl. gépi tanulásban pontok közti különbség
Normalizálás	Egységvektor készítése: $\hat{x} = \frac{x}{‖ x ‖}$
Regularizáció	ML-ben: L1 / L2 büntetések a túltanulás ellen
Konvergencia vizsgálata	Iteratív algoritmusokban

🔁 Összehasonlító táblázat

Norma	Formula	Jelentés
$‖ x ‖_{2}$	$\sqrt{\sum x_{i}^{2}}$	Euklideszi hossz
$‖ x ‖_{1}$	$\sum \| x_{i} \|$	Összeg (Manhattan)
$‖ x ‖_{\infty}$	${max}_{i} \| x_{i} \|$	Legnagyobb komponens
$‖ x ‖_{p}$	${(\sum \| x_{i} \|^{p})}^{1 / p}$	Általánosított norma

📜 Megjegyzés

A normák mértani értelemben „gömböket” határoznak meg a térben:

2-norma: kör/szféra
1-norma: rombusz/gyémánt
∞-norma: négyzet/kocka

Ezek fontosak például optimizálási régiók és konvergenciatartományok definiálásához.

🧑‍💻 Kód példa (Python)

import numpy as np

x = np.array([3, -4])
print("2-norma:", np.linalg.norm(x))           # 5.0
print("1-norma:", np.linalg.norm(x, ord=1))    # 7.0
print("∞-norma:", np.linalg.norm(x, ord=np.inf))  # 4.0

🎯 Összefoglalás

A vektornorma alapfogalom minden vektortéren belül:

A vektorok nagyságát adja meg
Segít távolság, irány, normalizálás, stabilitás, konvergencia vizsgálatában
Többféle norma létezik, célfüggő választással

További információk

vector norm - Szótár.net (en-hu)
vector norm - Sztaki (en-hu)
vector norm - Merriam–Webster
vector norm - Cambridge
vector norm - WordNet
vector norm - Яндекс (en-ru)
vector norm - Google (en-hu)
vector norm - Wikidata
vector norm - Wikipédia (angol)