A Wikiszótárból, a nyitott szótárból
Kiejtés
Főnév
permutáció
( matematika , kombinatorika ) Az
A
{\displaystyle A}
halmazon értelmezett permutáción egy
A
→
A
{\displaystyle A\to A}
bijekciót értünk. (
A
{\displaystyle A}
halmaz önmagára vett bijektív leképezése) Feltesszük, hogy
A
{\displaystyle A}
egy
n
{\displaystyle n}
-elemű halmaz valamely pozitív egész
n
{\displaystyle n}
-re. Az egyszerűség kedvéért jelöljük a halmaz elemeit
1
,
…
,
n
{\displaystyle 1,\ldots ,n}
-nel, azaz legyen
A
=
{
1
,
2
,
…
,
n
}
.
{\displaystyle A=\{1,2,\ldots ,n\}.}
Az
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}
halmazon definiált összes lehetséges permutációk halmazát
S
n
{\displaystyle S_{n}}
jelöli.
Ha
σ
,
τ
∈
S
n
{\displaystyle \sigma ,\tau \in S_{n}}
, akkor
σ
τ
∈
S
n
{\displaystyle \sigma \tau \in S_{n}}
. Azaz permutációk szorzata permutáció.
Ha
σ
∈
S
n
{\displaystyle \sigma \in S_{n}}
, akkor
σ
−
1
∈
S
n
{\displaystyle \sigma ^{-1}\in S_{n}}
. Azaz permutációk inverze permutáció.
(
σ
τ
)
η
=
σ
(
τ
η
)
{\displaystyle (\sigma \tau )\eta =\sigma (\tau \eta )}
minden
σ
,
τ
,
η
∈
S
n
{\displaystyle \sigma ,\tau ,\eta \in S_{n}}
-re, azaz a permutációk szorzása asszociatív.
i
d
σ
=
σ
i
d
=
σ
,
σ
σ
−
1
=
σ
−
1
σ
=
i
d
,
(
σ
τ
)
−
1
=
τ
−
1
σ
−
1
,
(
σ
−
1
)
−
1
=
σ
{\displaystyle id\sigma =\sigma id=\sigma ,\quad \sigma \sigma ^{-1}=\sigma ^{-1}\sigma =id,\quad (\sigma \tau )^{-1}=\tau ^{-1}\sigma ^{-1},\quad (\sigma ^{-1})^{-1}=\sigma }
minden
σ
,
τ
∈
S
n
{\displaystyle \sigma ,\tau \in S_{n}}
-re.
σ
τ
≠
τ
σ
{\displaystyle \sigma \tau \neq \tau \sigma }
, tehát a permutációk szorzása nem kommutatív.
Azt mondjuk, hogy a
σ
∈
S
n
{\displaystyle \sigma \in S_{n}}
permutáció mozgatja az
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}
elemet, ha
i
σ
≠
i
{\displaystyle i\sigma \neq i}
. A
σ
{\displaystyle \sigma }
permutáció által mozgatott elemek halmazát
M
σ
{\displaystyle M_{\sigma }}
jelöli. Minden permutáció felbontható transzpozı́ciók szorzatára.
Fordítások
Lásd még