Darboux-tétel

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈdɒrbouksteːtɛl]

Főnév

Darboux-tétel

1. (matematika) A Darboux-tétel a matematikai analízisben azt mondja ki, hogy egy intervallumon differenciálható függvény deriváltfüggvénye olyan, hogy bármely két függvényértéke közé eső értéket felvesz. A tétel egyik következménye, hogy a deriváltfüggvénynek ugrása vagy megszüntethető szakadása semmiképpen nem lehet.

---

Darboux-tétel

A **Darboux-tétel** az analízis egyik fontos tétele, amely a deriváltak viselkedésére vonatkozik. A tétel kimondja, hogy ha egy függvény deriválható egy zárt intervallumon, akkor a deriváltja teljesíti a középértéktételhez hasonló tulajdonságot.

---

Tétel

Legyen $f$ egy valós-valós függvény, amely deriválható az $[a,b]$ intervallumon. Ha $f'(a)$ és $f'(b)$ a derivált értékei az intervallum végpontjaiban, akkor minden $c$ számra, amelyre $f'(a)\leq c\leq f'(b)$ (vagy $f'(b)\leq c\leq f'(a)$), létezik egy $x\in (a,b)$, amelyre:

$$f'(x)=c.$$

---

Értelemezés

A Darboux-tétel kimondja, hogy a derivált függvény nem kell, hogy folytonos legyen, de rendelkezik az intervallumtulajdonsággal. Ez azt jelenti, hogy ha a derivált egy adott intervallum végpontjaiban felvesz két különböző értéket, akkor az intervallumban bármely köztes értéket is felvesz.

---

Bizonyítás

1. Előzetes feltételek

Legyen $f$ egy deriválható függvény az $[a,b]$-n, és legyen $f'(a)=p$, $f'(b)=q$, ahol $p\neq q$. Tegyük fel, hogy $c$ egy szám az $[p,q]$ intervallumban (feltételezhetjük, hogy $p<q$ a könnyebb érthetőség kedvéért).

---

2. Segédfüggvény definiálása

Definiáljunk egy segédfüggvényt: $$g(x)=f(x)-c\cdot x.$$ Ez a függvény egyszerűen a $f(x)$ függvényt módosítja azzal, hogy levonja az $c$-vel súlyozott $x$-et.

---

3. A segédfüggvény deriváltja

A $g(x)$ függvény deriváltja: $$g'(x)=f'(x)-c.$$

---

4. Alkalmazzuk a középértéktételt

A $g(x)$ folytonos az $[a,b]$-n és differenciálható az $(a,b)$-n, mivel $f(x)$ is rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal. Az $g(x)$ értékei az intervallum végpontjain: $$g(a)=f(a)-c\cdot a,\quad g(b)=f(b)-c\cdot b.$$

Tegyük fel, hogy $g(a)\neq g(b)$. Az $g'(x)=0$ teljesül az $(a,b)$ intervallumban valamilyen $x$-re a középértéktétel miatt. Ekkor: $$g'(x)=f'(x)-c=0\implies f'(x)=c.$$

---

5. Következtetés

Ez azt jelenti, hogy a $f'(x)$ derivált az $(a,b)$-n felveszi a $c$ értéket. Mivel $c$ bármelyik szám lehet az $[p,q]$ intervallumban, ez teljesíti a tétel állítását.

---

Következmények

1. Deriváltak és folytonosság:

A derivált nem szükségszerűen folytonos (például ha $f(x)$ egy deriválható függvény, amelynek deriváltja ugrásszerűen változik), de a derivált megőrzi az intervallumtulajdonságot.

1. Kapcsolat a középértéktétellel:

A Darboux-tétel az egyváltozós függvények középértéktételének kiterjesztése a deriváltakra.

1. Nem folytonos deriváltak példája:

Például a következő függvény: $$f(x)={\begin{cases}x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)&{\text{ha }}x\neq 0,\\0&{\text{ha }}x=0,\end{cases}}$$ deriválható, de a deriváltja nem folytonos. Ennek ellenére teljesíti a Darboux-tételt.

---

Példa

Legyen $f(x)=x^{3}$ az $[a,b]=[-1,1]$ intervallumon. Ekkor: $$f'(x)=3x^{2}.$$ A derivált $f'(a)=f'(-1)=3$ és $f'(b)=f'(1)=3$. Az intervallumban a $f'(x)$ értékei $[0,3]$-t fedik le. A Darboux-tétel szerint az $(a,b)$-n bármely $c\in [0,3]$-ra létezik egy $x\in (-1,1)$, ahol $f'(x)=c$.

---

Összefoglalás

A **Darboux-tétel** megmutatja, hogy a deriváltaknak van egy "folytonosságszerű" tulajdonságuk az értékkészletükre nézve, még akkor is, ha maguk a deriváltfüggvények nem folytonosak. Ez fontos szerepet játszik az analízisben, különösen a deriváltak viselkedésének mélyebb megértésében.

• angol: Darboux's theorem (en)

További információk

• Darboux-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Darboux-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Darboux-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Darboux-tétel - DeepL (hu-de)
• Darboux-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Darboux-tétel - Google (hu-en)
• Darboux-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Darboux-tétel - Wikidata
• Darboux-tétel - Wikipédia (magyar)