Gödel
Kiejtés
- IPA: [ ˈɡødɛl]
Főnév
Gödel
- (matematika, matematikus) Kurt Gödel (1906–1978) osztrák származású logikus, matematikus és filozófus volt, akit a 20. század egyik legnagyobb hatású logikusaiként tartanak számon. Munkássága mély hatást gyakorolt a matematikai logikára, a halmazelméletre és a matematikai filozófiára. Leghíresebb eredményei a nemteljességi tételek, amelyek alapjaiban rengették meg a matematikai rendszerek teljességével és következetességével kapcsolatos elképzeléseket.
Főbb hozzájárulásai:
- Nemteljességi tételek:
- Gödel legismertebb eredménye az 1931-ben publikált nemteljességi tételek. Ezek a tételek kimutatták, hogy bármely elég erős matematikai rendszerben, amely képes az aritmetika alapvető műveleteit leírni, léteznek olyan igaz állítások, amelyeket a rendszerben nem lehet sem bizonyítani, sem cáfolni.
- Első nemteljességi tétel: Ez kimondja, hogy egy koherens formális rendszerben, amely magában foglalja az aritmetikát, mindig lesznek olyan állítások, amelyek igazak, de nem bizonyíthatók a rendszer szabályai alapján.
- Második nemteljességi tétel: Ez a tétel kimutatja, hogy egy ilyen rendszer saját következetességét sem képes bebizonyítani.
- Ezek az eredmények alapvetően megváltoztatták a Hilbert-program által kitűzött célokat, amely a matematikát teljesen formális és teljességgel bizonyítható rendszerré kívánta alakítani.
- Gödel legismertebb eredménye az 1931-ben publikált nemteljességi tételek. Ezek a tételek kimutatták, hogy bármely elég erős matematikai rendszerben, amely képes az aritmetika alapvető műveleteit leírni, léteznek olyan igaz állítások, amelyeket a rendszerben nem lehet sem bizonyítani, sem cáfolni.
- Halmazelméleti eredmények:
- Gödel jelentős eredményeket ért el a halmazelmélet terén is, különösen azzal, hogy 1938-ban bebizonyította, hogy a folytonossági hipotézis összhangban van a halmazelmélet standard axiómáival (ha ezek az axiómák önmagukban is következetesek). A folytonossági hipotézis azt állítja, hogy nincs olyan számosság, amely a természetes számok halmaza és a valós számok halmaza között helyezkedik el.
- Gödel eredményeit Paul Cohen később tovább bővítette, és bebizonyította, hogy a folytonossági hipotézis független a halmazelmélet axiómáitól: nem lehet sem bizonyítani, sem cáfolni azokat a standard axiómarendszerek alapján.
- Matematikai filozófia:
- Gödel filozófiai szempontból is jelentős gondolkodó volt, és erőteljesen képviselte a platonista nézőpontot a matematikában. Úgy vélte, hogy a matematikai objektumok függetlenül léteznek az emberi elméktől, és a matematikai igazságokat nem kitaláljuk, hanem felfedezzük. Ez a nézet szemben állt a formalista és konstruktivista elképzelésekkel, amelyek szerint a matematika ember által alkotott szabályok rendszere.
- Modális logikai munkássága:
- Gödel foglalkozott a modális logikával is, amely a szükségszerűség és lehetőség kérdéseit vizsgálja. Kidolgozott egy formális ontológiai istenérvet is, amely a modális logika segítségével próbálja bizonyítani Isten létezését, Anzelm érvelését alapul véve.
Öröksége:
Kurt Gödel mély hatással volt a matematika és a filozófia területére. Nemteljességi tételei megmutatták, hogy bizonyos matematikai igazságok kívül esnek minden formális rendszer teljes bizonyíthatóságán. Filozófiai nézetei és halmazelméleti eredményei ma is fontosak a matematikai és logikai kutatásokban.