Ugrás a tartalomhoz

Poincaré-sejtés

A Wikiszótárból, a nyitott szótárból

Magyar

Kiejtés

  • IPA: [ ˈpojint͡sɒreːʃɛjteːʃ]

Főnév

Poincaré-sejtés

  1. (matematika) A Poincaré-sejtés a topológia egyik leghíresebb problémája, amelyet 1904-ben fogalmazott meg a francia matematikus Henri Poincaré. A sejtés a háromdimenziós terek szerkezetét vizsgálja, és lényegében azt mondja ki, hogy minden olyan tér, amely „egyszerűen összefüggő”, zárt háromdimenziós sokaság (vagyis olyan, amelynek nincsenek lyukai), homeomorf a háromdimenziós gömbbel. A sejtés pontos megfogalmazása így szól:

Poincaré-sejtés:

Minden egyszerűen összefüggő, zárt háromdimenziós sokaság homeomorf a háromdimenziós gömbbel.

Fogalmak tisztázása:

  • Egyszerűen összefüggő: Egy sokaság akkor egyszerűen összefüggő, ha bármely zárt görbe a térben folyamatosan “összehúzható” egy pontba anélkül, hogy átvágnánk vagy kikerülnénk akadályokat (pl. lyukakat). Egy 2D példában: egy gömbfelszín ilyen (mint a 2D-s változat), de egy fánk alakú tárgy (tórusz) nem, mert van benne egy lyuk.
  • Zárt sokaság: Egy sokaság zárt, ha véges és határok nélküli, mint a gömbfelszín.

Történeti háttér

Henri Poincaré azzal a kérdéssel foglalkozott, hogy hogyan lehet leírni a háromdimenziós tereket topológiai tulajdonságaik alapján. A sejtés egy természetes kiterjesztése annak az intuícióknak, amelyeket két dimenzióban (például a gömb felszínén) jól megértünk. A 2D-s változata a sejtésnek könnyen belátható: bármilyen egyszerűen összefüggő, zárt felület homeomorf a szokványos 2D-s gömbfelülettel.

A Poincaré-sejtést a matematikai közösség több mint egy évszázadon át nem tudta bizonyítani vagy cáfolni, ezért ez az egyik legismertebb nyitott probléma lett a topológiában. A Clay Mathematics Institute 2000-ben a sejtést az egyik Millennium Prize Problem-ként jelölte meg, és egymillió dolláros jutalmat ajánlott fel annak, aki megoldja.

A Poincaré-sejtés megoldása

A sejtést Grigori Perelman bizonyította be 2003-ban, amikor a Ricci-flow technikát alkalmazva három egymást követő dolgozatban tette közzé eredményeit. Perelman megoldása Richard S. Hamilton korábbi munkájára épült, aki kifejlesztette a Ricci-flow nevű technikát, ami hasonló a hő diffúziójához: egy tér szerkezete folyamatosan simábbá válik, ahogy az idő halad előre.

Perelman kulcsfontosságú eredménye az volt, hogy kitalálta, hogyan kezelje a Ricci-flow során felmerülő szingularitásokat, amelyek akadályt jelentettek a korábbi próbálkozásoknál. Eredményével nem csak a Poincaré-sejtést oldotta meg, hanem mélyebb megértést hozott a háromdimenziós sokaságok szerkezetéről is.

Hatás és elismerések

Perelman bizonyítása hatalmas jelentőségű volt a matematikában, és a topológia mellett más területekre is hatással volt. 2006-ban neki ítélték a matematikai világ legnagyobb elismerését, a Fields-érmet, de ő elutasította. 2010-ben szintén visszautasította a Clay Mathematics Institute egymillió dolláros jutalmát, amelyet a Poincaré-sejtés bizonyításáért ajánlottak fel.

Összegzés

A Poincaré-sejtés megoldása nagy áttörést jelentett a háromdimenziós topológia területén. A sejtés azt állította, hogy az egyszerűen összefüggő háromdimenziós sokaságok tulajdonképpen nem mások, mint deformált 3D-s gömbök, és Grigori Perelman munkája bebizonyította, hogy ez valóban igaz.

További információk

A lap eredeti címe: „https://hu.wiktionary.org/w/index.php?title=Poincaré-sejtés&oldid=3449582”