affine transformation

Angol

Főnév

affine transformation (tsz. affine transformations)

(informatika) affin transzformáció

Affine transformation – magyarul: affin transzformáció – a lineáris algebra és geometria egyik alapvető fogalma, amely egy egyenest egyenessé, egy síkot síkká képez le, miközben megőrzi a pontok közötti arányokat és a párhuzamosságot, de nem feltétlenül a távolságokat és szögeket.

Az affin transzformációk kulcsfontosságúak:

Számítógépes grafikában
Képmanipulációban
Robotikában
Geometriai modellezésben

🧠 1. Mi az az affin transzformáció?

Az affin transzformáció egy lineáris transzformáció (pl. elforgatás, nyújtás, tükrözés), kombinálva egy eltolással.

Matematikailag így írható le:

$\mathbf {y} =A\mathbf {x} +\mathbf {t}$

${\textstyle A}$ : egy n×n mátrix (lineáris rész)
${\textstyle \mathbf {t} }$ : egy n-dimenziós vektor (eltolás)
${\textstyle \mathbf {x} }$ : a bemeneti vektor
${\textstyle \mathbf {y} }$ : az eredmény (transzformált vektor)

🧱 2. Példák 2D-ben

Példa 1: Eltolás

$A=I,\quad \mathbf {t} ={\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}}$

→ Minden pont eltolódik 3 egységgel jobbra és 2-vel felfelé.

Példa 2: Forgatás

$A={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},\quad \mathbf {t} =\mathbf {0}$

→ Eredeti pont elforgatása az origó körül szögben.

Példa 3: Skálázás

$A={\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {t} =\mathbf {0}$

→ Nyújtás x-irányban kétszeresére.

🔄 3. Homogén koordinátás forma

Az affin transzformációkat gyakran homogén koordinátákkal (3×3 mátrix 2D esetén) írjuk, hogy az eltolást is mátrixszorzással kezelhessük:

${\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&t_{x}\\a_{21}&a_{22}&t_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}$

📐 4. Tulajdonságok

Tulajdonság	Megmarad?
Párhuzamosság	✅ Igen
Egyenesek	✅ Igen
Arányok (arányos osztás)	✅ Igen
Távolságok	❌ Nem
Szögek	❌ Nem
Kör → ellipszis	✅ Igen (általában torzul)

🧰 5. Alkalmazások

👨‍💻 Számítógépes grafika:

Objektumok forgatása, nyújtása, tükrözése
Képek elmozdítása, torzítása (pl. OpenCV warpAffine())

🧮 Gépi tanulás / képfeldolgozás:

Data augmentation: kép elforgatása, átméretezése

🛰️ Geodézia és térképészet:

Térképek átalakítása különböző vetületek között

🤖 Robotika:

Koordinátarendszerek közötti transzformáció (pl. robotkar és szenzor között)

⚙️ 6. Implementáció (pl. Python/OpenCV)

import cv2
import numpy as np

image = cv2.imread("input.jpg")
rows, cols = image.shape[:2]

# 3 pont alapján számolt affin mátrix
src = np.float32([[0,0], [1,0], [0,1]])
dst = np.float32([[0,0], [1,0.2], [0.2,1]])
M = cv2.getAffineTransform(src, dst)

# transzformált kép
output = cv2.warpAffine(image, M, (cols, rows))

📏 7. Összefoglalás

Az affin transzformáció egy olyan geometriai művelet, amely:

megtartja a párhuzamosságot és az egyenességet,
torzíthat (például skáláz vagy nyújt),
sokféle alkalmazásban jelen van a grafikától a térinformatikán át a gépi látásig.

A matematikai rugalmassága és stabilitása miatt ez az egyik legalapvetőbb transzformáció minden számítási geometriában.

További információk

affine transformation - Szótár.net (en-hu)
affine transformation - Sztaki (en-hu)
affine transformation - Merriam–Webster
affine transformation - Cambridge
affine transformation - WordNet
affine transformation - Яндекс (en-ru)
affine transformation - Google (en-hu)
affine transformation - Wikidata
affine transformation - Wikipédia (angol)