calculus

part of a series of articles about
calculus
$\int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)$
fundamental theorem limits continuity rolle's theorem mean value theorem inverse function theorem
differential definitions derivative (generalizations) differential infinitesimal of a function total concepts differentiation notation second derivative implicit differentiation logarithmic differentiation related rates taylor's theorem rules and identities sum product chain power quotient l'hôpital's rule inverse general leibniz faà di bruno's formula reynolds
integral lists of integrals integral transform leibniz integral rule definitions antiderivative integral (improper) riemann integral lebesgue integration contour integration integral of inverse functions integration by parts discs cylindrical shells substitution (trigonometric, tangent half-angle, euler) euler's formula partial fractions (heaviside's method) changing order reduction formulae differentiating under the integral sign risch algorithm
series geometric (arithmetico-geometric) harmonic alternating power binomial taylor convergence tests summand limit (term test) ratio root integral direct comparison limit comparison alternating series cauchy condensation dirichlet abel
vector gradient divergence curl laplacian directional derivative identities theorems gradient green's stokes' divergence generalized stokes helmholtz decomposition
multivariable formalisms matrix tensor exterior geometric definitions partial derivative multiple integral line integral surface integral volume integral jacobian hessian
advanced calculus on euclidean space generalized functions limit of distributions
specialized fractional malliavin stochastic variations
miscellanea precalculus history glossary list of topics integration bee mathematical analysis nonstandard analysis

Angol

Főnév

calculus (tsz. calculuses)

1. (informatika) matematikai analízis

---

A kalkulus (latinul calculus, azaz kis kavics, amelyet számolásra használtak) a matematika egyik legfontosabb és legszélesebb körben alkalmazott ága, amely a változás, mozgás, görbült formák és végtelen kis mennyiségek tanulmányozásával foglalkozik. Két fő ága van:

1. Differenciálszámítás (Differential Calculus) – a változás sebességét vizsgálja.
2. Integrálszámítás (Integral Calculus) – a halmozott változást, területet, térfogatot vizsgálja.

Ezeket gyakran egyesítve analízisnek is nevezik, és együtt rendkívül fontosak a természettudományok, a mérnöktudomány, a gazdaságtan, az informatika és számos más tudományág számára.

Történeti háttér

A kalkulust Isaac Newton (1643–1727) és Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) egymástól függetlenül fejlesztették ki a 17. században. Newton elsősorban a mozgástan (mechanika) problémáira alkalmazta, míg Leibniz kidolgozta a modern jelölésrendszer alapjait (pl. ∫ integráljel, d deriváltjel).

A kalkulus fejlődése azóta óriási hatással volt a modern matematikára és a tudományos forradalomra.

A differenciálszámítás alapjai

Fogalma

A differenciálszámítás azt vizsgálja, hogyan változik egy függvény értéke a bemenő érték apró változása hatására.

Ha van egy függvényünk ${\textstyle f(x)}$, akkor a deriváltja ${\textstyle f'(x)}$ megmondja, hogy ${\textstyle x}$-ben milyen meredek a függvénygörbe, azaz milyen gyorsan változik ${\textstyle f(x)}$.

Derivált definíciója

A deriváltat a következő határértékkel definiáljuk:

$$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$$

Itt a ${\textstyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ az ${\textstyle x}$ pontbeli átlagos változási sebességet adja meg ${\textstyle h}$ hosszúságú szakaszon. Ahogy ${\textstyle h\to 0}$, az átlagos sebesség átmegy a pillanatnyi sebességbe.

Geometriai jelentés

Geometriailag a derivált az ${\textstyle f(x)}$ függvény ${\textstyle x}$ pontjában húzott érintő egyenesének meredeksége.

Fizikai jelentés

Ha például ${\textstyle s(t)}$ a megtett út az idő függvényében, akkor ${\textstyle s'(t)}$ a sebesség, ${\textstyle s''(t)}$ pedig a gyorsulás.

Alapvető derivált szabályok

• ${\textstyle (c)'=0}$ (konstans deriváltja 0)
• ${\textstyle (x^{n})'=nx^{n-1}}$ (hatványfüggvény)
• ${\textstyle (\sin x)'=\cos x}$
• ${\textstyle (\cos x)'=-\sin x}$
• ${\textstyle (e^{x})'=e^{x}}$
• ${\textstyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}}$

Differenciálási szabályok

• Összeg szabály: ${\textstyle (f+g)'=f'+g'}$
• Szorzat szabály: ${\textstyle (fg)'=f'g+fg'}$
• Hányados szabály: ${\textstyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$
• Láncszabály (chain rule): ${\textstyle (f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)}$

Az integrálszámítás alapjai

Fogalma

Az integrálszámítás az összegzett változást vizsgálja. Például:

• mekkora a terület egy görbe alatt,
• mekkora a teljes megtett út adott sebességfüggvény esetén,
• mekkora a teljes munka adott erőhatás mellett.

Határozott integrál

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$$

Ez az ${\textstyle f(x)}$ függvény alatti területet méri ${\textstyle [a,b]}$ intervallumon.

Határozatlan integrál

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C$$

Itt ${\textstyle F(x)}$ olyan függvény, hogy ${\textstyle F'(x)=f(x)}$. A ${\textstyle +C}$ tetszőleges integrálási konstans.

Alapvető integrálszabályok

• ${\textstyle \int c\,dx=cx+C}$
• ${\textstyle \int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}$ (ha ${\textstyle n\neq -1}$)
• ${\textstyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}$
• ${\textstyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C}$
• ${\textstyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C}$
• ${\textstyle \int \cos x\,dx=\sin x+C}$

Geometriai jelentés

Az integrál területként is felfogható: az ${\textstyle f(x)}$ függvény és az ${\textstyle x}$-tengely közti területet méri adott intervallumon.

Fizikai jelentés

Ha például ${\textstyle v(t)}$ a sebesség, akkor ${\textstyle \int v(t)\,dt}$ a megtett út.

Newton–Leibniz tétel

A kalkulus egyik legfontosabb eredménye a Newton–Leibniz tétel, ami kapcsolatot teremt a deriválás és az integrálás között:

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$

ahol ${\textstyle F'(x)=f(x)}$, azaz ${\textstyle F}$ az ${\textstyle f}$ primitív függvénye.

Végtelen kis mennyiségek

A kalkulus egyik központi fogalma a végtelen kicsi és a határérték.

A határérték fogalma:

$$\lim _{x\to a}f(x)=L$$

Ha ${\textstyle f(x)}$ értékei ${\textstyle x\to a}$ esetén ${\textstyle L}$-hez közelítenek, akkor a függvény határértéke ${\textstyle L}$.

A deriválás és az integrálás is határértékre épül.

Differenciálegyenletek

A kalkulus természetes kiterjesztése a differenciálegyenletek vizsgálata. Ezek olyan egyenletek, amelyekben az ismeretlen függvény deriváltjai is szerepelnek.

Példák:

• Newton második törvénye: ${\textstyle F=ma}$, ami ${\textstyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=F(t)}$
• Radioaktív bomlás: ${\textstyle {\frac {dN}{dt}}=-kN}$

A differenciálegyenletek rendkívül fontosak a természetes jelenségek modellezésében.

Többváltozós kalkulus

A valóság sokszor többváltozós függvényekkel dolgozik: ${\textstyle f(x,y,z)}$. Ekkor szükség van:

• parciális deriváltakra,
• gradiensvektorra,
• irányszerinti deriváltra,
• többszörös integrálokra (pl. térfogat számítására).

A többváltozós kalkulus a vektoranalízis, mezőelmélet, gépi tanulás, fizikai mezők vizsgálatának alapja.

Alkalmazások

A kalkulust szinte minden tudományterületen alkalmazzák:

• Fizika: mozgás, energia, elektromágneses tér
• Kémia: reakciókinetika
• Biológia: populációnövekedési modellek
• Gazdaságtan: optimális termelés, költség- és bevételfüggvények
• Gépészet: erőtan, dinamika
• Informatika: gépi tanulás, grafika, szimulációk

Modern eszközök

Ma a kalkulus számításait számítógéppel is végzik (pl. Mathematica, Maple, MATLAB, Python csomagok). Ezek lehetővé teszik bonyolult integrálok, deriváltak automatikus kiszámítását.

Zárszó

A kalkulus a modern matematika és tudomány egyik legfontosabb pillére. Megtanít gondolkodni a folytonos változásról, mozgásról, területekről és végtelen kicsi dolgokról.

Több mint 300 éve bizonyítja, hogy az egyszerű fogalmakból (derivált, integrál) mély és univerzális eszköztár építhető, amely az egész világegyetem leírására alkalmas.

További információk

• calculus - Szótár.net (en-hu)
• calculus - Sztaki (en-hu)
• calculus - Merriam–Webster
• calculus - Cambridge
• calculus - WordNet
• calculus - Яндекс (en-ru)
• calculus - Google (en-hu)
• calculus - Wikidata
• calculus - Wikipédia (angol)