Kiejtés
- IPA: [ ˈɟøkvonaːʃ ˈkomplɛks ˈsaːmboːl]
Főnév
gyökvonás komplex számból
- (matematika) Minden nem nulla komplex számnak pontosan n darab n -edik gyöke van a komplex számok között, és ezek egy origó középpontú szabályos sokszög csúcsaiban helyezkednek el. A z szám n-edik gyökei azért alkotnak szabályos n-szöget, mert ez
-lal szorzással, azaz forgatva nyújtással kapható az egységgyökök által alkotott sokszögből. Legyen 
Ekkor ![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\dfrac {\varphi +2k\pi }{n}}+i\sin {\dfrac {\varphi +2k\pi }{n}}\right),\quad k=0,1,\ldots ,n-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3071156fc2f43547b082f4c1ddba42f34cd0e3b)
Egy 
komplex szám összes n-edik gyökét felírhatjuk az
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\dfrac {\varphi }{n}}+{\dfrac {2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\dfrac {\varphi }{n}}+{\dfrac {2k\pi }{n}}\right)\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7f4eaa4635693fc47af2c562cadfaa798b755b8)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\dfrac {\varphi }{n}}+i\sin {\dfrac {\varphi }{n}}\right)\left(\cos {\dfrac {2k\pi }{n}}+i\sin {\dfrac {2k\pi }{n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7094f156f33c1f8bef2864dbfa2feba81436fc1f)
alakban, ahol 
Azaz, ha ![{\displaystyle w_{0}:={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\dfrac {\varphi }{n}}+i\sin {\dfrac {\varphi }{n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/992e76d9c5f93aba51cffd80dc7b6f2a933ac87e)
jelöli az első n-edik gyökét z-nek, akkor
adja az összes kölönböző 
-edik gyökét 
-nek.
Számítsuk ki ![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{-8}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a807ef2d5465e58a487b69403841f5fcb0925860)
összes lehetséges értékét!
Korábban láttuk, hogy 
Ezért a lehetséges gyökök:
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{8}}\left(\cos {\dfrac {\pi }{4}}+i\sin {\dfrac {\pi }{4}}\right)={\sqrt[{4}]{8}}\left({\dfrac {1}{\sqrt {2}}}+i{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{2}}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c184e4b3ebf53133cfdf8960992787402dc33507)
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{8}}\left(\cos \left({\dfrac {\pi }{4}}+{\dfrac {2\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\dfrac {\pi }{4}}+{\dfrac {2\pi }{4}}\right)\right)={\sqrt[{4}]{8}}\left(\cos {\dfrac {3\pi }{4}}+i\sin {\dfrac {3\pi }{4}}\right)=-{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{2}}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abccbabd12f99ca70bf93375c7bf400b29b7f8b7)
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{8}}\left(\cos \left({\dfrac {\pi }{4}}+{\dfrac {4\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\dfrac {\pi }{4}}+{\dfrac {4\pi }{4}}\right)\right)={\sqrt[{4}]{8}}\left(\cos {\dfrac {5\pi }{4}}+i\sin {\dfrac {5\pi }{4}}\right)=-{\sqrt[{4}]{2}}-{\sqrt[{4}]{2}}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcde2dbf02add92dbaa851cdfeaad3053c579ad5)
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{8}}\left(\cos \left({\dfrac {\pi }{4}}+{\dfrac {6\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\dfrac {\pi }{4}}+{\dfrac {6\pi }{4}}\right)\right)={\sqrt[{4}]{8}}\left(\cos {\dfrac {7\pi }{4}}+i\sin {\dfrac {7\pi }{4}}\right)={\sqrt[{4}]{2}}-{\sqrt[{4}]{2}}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee68cb2e73af937ea715f65db993b6a715dfb00)
