likelihood-függvény

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈlikɛliɦootfyɡveːɲ]

Főnév

likelihood-függvény

1. (matematika, valószínűségszámítás) A likelihood-függvény egy statisztikai függvény, amely egy vagy több paraméter valószínűségét fejezi ki adott megfigyelések alapján. Más szóval, a likelihood-függvény azt mutatja meg, hogy egy adott paraméter érték mellett milyen valószínűséggel figyeltük meg az adott adatokat. A maximum-likelihood becslés (MLE) során ezt a függvényt használjuk fel a paraméter(ek) becslésére úgy, hogy a megfigyelések legnagyobb valószínűségét kapjuk.

Likelihood-függvény felépítése:

Tegyük fel, hogy van egy valószínűségi modellünk, amely a ${\textstyle P(X\mid \theta )}$ függvényen alapul, ahol: - ${\textstyle X}$ a megfigyelt adatok (pl. egy minta), - ${\textstyle \theta }$ a modell paramétere(i).

A likelihood-függvény megadja, hogy egy adott paraméter ${\textstyle \theta }$ mellett mennyire valószínű a megfigyelt adatok ${\textstyle X}$ előfordulása. A likelihood-függvényt általában így írjuk fel: $$L(\theta \mid X)=P(X\mid \theta )$$ ahol ${\textstyle L(\theta \mid X)}$ a likelihood függvény, és ${\textstyle P(X\mid \theta )}$ a megfigyelt adatok valószínűsége a ${\textstyle \theta }$ paraméterekkel.

Példa egyértelműbbé tételére:

Tegyük fel, hogy van egy érme, és nem tudjuk, hogy tisztességes-e. A kísérlet során tízszer feldobjuk az érmét, és 7-szer fej, 3-szor írás eredményt kapunk. A ${\textstyle p}$ valószínűséggel modelláljuk azt, hogy fej eredményt kapunk. A megfigyelt adatok tehát 7 fej és 3 írás.

A binomiális eloszlás használatával a likelihood-függvény a következőképpen írható fel: $$L(p\mid X)={\binom {10}{7}}p^{7}(1-p)^{3}$$ Itt ${\textstyle p}$ az érme fejre esésének valószínűsége, és ${\textstyle {\binom {10}{7}}}$ a kombinatorikus tényező (hányféleképpen kaphatunk 7 fejet 10 dobásból).

A maximum-likelihood becslés (MLE) célja megtalálni azt az ${\textstyle p}$ értéket, amely maximalizálja ezt a likelihood-függvényt, azaz ahol a megfigyelt eredmények (7 fej, 3 írás) a legvalószínűbbek.

Log-likelihood függvény:

Gyakorlati alkalmazásban gyakran a log-likelihood függvényt használjuk, mivel a logaritmálás megkönnyíti a számításokat. A logaritmus monotóniája miatt ugyanazt a maximumhelyet adja, mint a likelihood-függvény. A log-likelihood függvény a következőképpen néz ki: $$\ell (\theta \mid X)=\log(L(\theta \mid X))$$

Likelihood-függvény és valószínűség közötti különbség:

Fontos különbséget tenni a valószínűség és a likelihood között. A valószínűség azt fejezi ki, hogy ha egy paraméter ismert, akkor mekkora az esélye, hogy bizonyos adatokat megfigyeljünk. A likelihood ezzel szemben azt vizsgálja, hogy a megfigyelt adatok alapján mennyire valószínűek az egyes paraméterértékek.

- Valószínűség: ${\textstyle P(X\mid \theta )}$ – adott paraméter mellett mekkora az esély, hogy az adatokat megfigyeljük. - Likelihood: ${\textstyle L(\theta \mid X)}$ – adott adatok mellett mekkora az esély, hogy a paraméterek értékei helyesek.

Összegzés:

A likelihood-függvény kulcsfontosságú eszköz a statisztikai modellezésben és becslésben, különösen a maximum-likelihood becslés során, ahol olyan paraméterértékeket keresünk, amelyek a legnagyobb valószínűséget adják a megfigyelt adatok alapján.

• angol: likelihood function (en)

További információk

• likelihood-függvény - Értelmező szótár (MEK)
• likelihood-függvény - Etimológiai szótár (UMIL)
• likelihood-függvény - Szótár.net (hu-hu)
• likelihood-függvény - DeepL (hu-de)
• likelihood-függvény - Яндекс (hu-ru)
• likelihood-függvény - Google (hu-en)
• likelihood-függvény - Helyesírási szótár (MTA)
• likelihood-függvény - Wikidata
• likelihood-függvény - Wikipédia (magyar)