lineáris egyenletrendszer megoldhatósága

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈlinɛaːriʃ ˈɛɟɛnlɛtrɛnt͡sɛr ˈmɛɡolthɒtoːʃaːɡɒ]

Főnév

lineáris egyenletrendszer megoldhatósága

1. (matematika, lineáris algebra) Lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságának szükséges és elégséges feltétele:

1. Az $A\cdot {\underline {x}}={\underline {b}}$ lineáris egyenletrendszer megoldható $\Leftrightarrow$ a ${\underline {b}}$ vektor előáll az $A$ együtthatómátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációjával.
2. Az $A\cdot {\underline {x}}={\underline {b}}$ lineáris egyenletrendszer megoldható $\Leftrightarrow r(A)=r([A,{\underline {b}}])$, vagyis ha az együtthatómátrix rangja egyenló a kibővített mátrix rangjával

ahol $[A,{\underline {b}}]$ az egyenletrendszer kibővített mátrixa:

$[A,{\underline {b}}]=\left({\begin{array}{cccc}{a_{11}}&{\dots }&{a_{1n}}&{b_{1}}\\{\vdots }&{}&{\vdots }&{\vdots }\\{a_{m1}}&{\dots }&{a_{mn}}&{b_{m}}\end{array}}\right)_{m\times (n+1)}$

$${\begin{array}{|c|c|c|}\hline {\text{Megoldásvektorok száma}}&{\begin{array}{c}{\text{Homogén lin. egyenletrendszer}}\\{A_{m\times n}\cdot {\underline {x}}={\underline {o}}}\end{array}}&{\begin{array}{c}{\text{Inhomogén lin. egyenletrendszer}}\\{A_{m\times n}\cdot {\underline {x}}={\underline {b}}}\end{array}}\\\hline {\text{nincs megoldás}}&-&{\begin{array}{c}{r(A)<r([A,{\underline {b}}])}\\M=\varnothing \end{array}}\\\hline {\begin{array}{c}{\text{1 db. megoldásvektor}}\\{\text{egyértelműen megoldható}}\end{array}}&{\begin{array}{c}{r(A)=n}\\{M_{0}=\{{\underline {o}}\}}\end{array}}&{\begin{array}{c}{r(A)}=r([A,{\underline {b}}])=n\\M=\{{\underline {x}}_{0}\}\end{array}}\\\hline {\text{végtelen sok megoldásvektor}}&{\begin{array}{c}{r(A)<n}\\M_{0}\end{array}}&{\begin{array}{c}{r(A)}=r([A,{\underline {b}}])<n\\{M=M_{0}+\left\{{\underline {x}}_{0}\right\}}\\\end{array}}\\\hline \end{array}}$$

Fordítások

• angol: solvability of a linear system (en)