logarithm

Angol

Főnév

logarithm (tsz. logarithms)

1. (informatika) logaritmus

A Logarithm / logaritmus a matematika egyik alapvető fogalma, amely a hatványozás inverz művelete.

---

📘 Alapdefiníció

Ha:

$$a^{x}=b$$

akkor:

$$\log _{a}b=x$$

Azt mondjuk: “a alapú logaritmus b-nek az x”. Ez azt jelenti, hogy a-t hányszor kell önmagával megszorozni, hogy b-t kapjunk.

---

🔢 Példák:

• ${\textstyle \log _{2}8=3}$, mert ${\textstyle 2^{3}=8}$
• ${\textstyle \log _{10}100=2}$, mert ${\textstyle 10^{2}=100}$
• ${\textstyle \log _{5}1=0}$, mert ${\textstyle 5^{0}=1}$

---

📐 Fontos logaritmus típusok

Név	Jelölés	Alap
Közönséges logaritmus	${\textstyle \log _{10}x}$ vagy ${\textstyle \log x}$	10
Természetes logaritmus	${\textstyle \ln x}$	${\textstyle e\approx 2.718}$
Bináris logaritmus	${\textstyle \log _{2}x}$	2

---

🧠 Tulajdonságok

1. Hatvány szorzattá alakítása:

   $$\log _{a}(x\cdot y)=\log _{a}x+\log _{a}y$$

2. Hányados logaritmusa:

   $$\log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}x-\log _{a}y$$

3. Hatvány logaritmusa:

   $$\log _{a}(x^{n})=n\cdot \log _{a}x$$

4. Logaritmus hatványa:

   $$a^{\log _{a}x}=x\quad {\text{és}}\log _{a}(a^{x})=x$$

5. Alapcsere képlet:

   Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \text{(tetszoleges \( c > 0 \))} }

---

📊 Alkalmazások

• Exponenciális egyenletek megoldása
• Számítási komplexitás: ${\textstyle O(\log n)}$ idő (pl. bináris keresés)
• Skálázás: decibel (hang), Richter-skála (földrengés), pH (kémia)
• Adattömörítés és információelmélet (Shannon-entrópia)
• Gépi tanulás: log loss, log-likelihood

---

🧮 Példa egyenlet megoldására

Oldjuk meg:

$$3^{x}=81$$

1. Vegyünk logaritmust:

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \log_3 81 = x \Rightarrow x = 4 \quad \text{(mert \( 3^4 = 81 \))} }

---

⚠️ Megjegyzés

• A logaritmus csak pozitív számokra van értelmezve: ${\textstyle \log _{a}x}$ csak ha ${\textstyle x>0}$, ${\textstyle a>0}$, ${\textstyle a\neq 1}$
• Ha ${\textstyle x<0}$, akkor komplex számok esetén lehet értelmezni

---

🏁 Összefoglalás

A logaritmus a hatványozás inverze: megmondja, hogy egy számot hányszor kell megszorozni önmagával, hogy egy másik számot kapjunk. Alkalmazása széleskörű: matematikában, fizikában, számítástechnikában, mérnöki tudományokban és gazdaságban is kulcsfontosságú.

Szeretnél gyakorló példákat is, vagy logaritmusos egyenletek megoldását?

További információk

• logarithm - Szótár.net (en-hu)
• logarithm - Sztaki (en-hu)
• logarithm - Merriam–Webster
• logarithm - Cambridge
• logarithm - WordNet
• logarithm - Яндекс (en-ru)
• logarithm - Google (en-hu)
• logarithm - Wikidata
• logarithm - Wikipédia (angol)