logarithm

Angol

Főnév

logarithm (tsz. logarithms)

(informatika) logaritmus

A Logarithm / logaritmus a matematika egyik alapvető fogalma, amely a hatványozás inverz művelete.

📘 Alapdefiníció

Ha:

$a^{x} = b$

akkor:

$\log_{a} b = x$

Azt mondjuk: “a alapú logaritmus b-nek az x”. Ez azt jelenti, hogy a-t hányszor kell önmagával megszorozni, hogy b-t kapjunk.

🔢 Példák:

$\log_{2} 8 = 3$ , mert $2^{3} = 8$
$\log_{10} 100 = 2$ , mert $1 0^{2} = 100$
$\log_{5} 1 = 0$ , mert $5^{0} = 1$

📐 Fontos logaritmus típusok

Név	Jelölés	Alap
Közönséges logaritmus	$\log_{10} x$ vagy $\log x$	10
Természetes logaritmus	$\ln x$	$e \approx 2.718$
Bináris logaritmus	$\log_{2} x$	2

🧠 Tulajdonságok

Hatvány szorzattá alakítása:

$\log_{a} (x \cdot y) = \log_{a} x + \log_{a} y$
Hányados logaritmusa:

$\log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} x - \log_{a} y$
Hatvány logaritmusa:

$\log_{a} (x^{n}) = n \cdot \log_{a} x$
Logaritmus hatványa:

$a^{\log_{a} x} = x és \log_{a} (a^{x}) = x$
Alapcsere képlet:

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \text{(tetszoleges $ c > 0 $)} }

📊 Alkalmazások

Exponenciális egyenletek megoldása
Számítási komplexitás: $O (\log n)$ idő (pl. bináris keresés)
Skálázás: decibel (hang), Richter-skála (földrengés), pH (kémia)
Adattömörítés és információelmélet (Shannon-entrópia)
Gépi tanulás: log loss, log-likelihood

🧮 Példa egyenlet megoldására

Oldjuk meg:

$3^{x} = 81$

Vegyünk logaritmust:

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \log_3 81 = x \Rightarrow x = 4 \quad \text{(mert $ 3^4 = 81 $)} }

⚠️ Megjegyzés

A logaritmus csak pozitív számokra van értelmezve: $\log_{a} x$ csak ha $x > 0$ , $a > 0$ , $a \neq 1$
Ha $x < 0$ , akkor komplex számok esetén lehet értelmezni

🏁 Összefoglalás

A logaritmus a hatványozás inverze: megmondja, hogy egy számot hányszor kell megszorozni önmagával, hogy egy másik számot kapjunk. Alkalmazása széleskörű: matematikában, fizikában, számítástechnikában, mérnöki tudományokban és gazdaságban is kulcsfontosságú.

Szeretnél gyakorló példákat is, vagy logaritmusos egyenletek megoldását?

További információk

logarithm - Szótár.net (en-hu)
logarithm - Sztaki (en-hu)
logarithm - Merriam–Webster
logarithm - Cambridge
logarithm - WordNet
logarithm - Яндекс (en-ru)
logarithm - Google (en-hu)
logarithm - Wikidata
logarithm - Wikipédia (angol)