maximum-likelihood becslés

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈmɒksimumlikɛliɦoodbɛt͡ʃleːʃ]

Főnév

maximum-likelihood becslés

1. (matematika, valószínűségszámítás) A maximum-likelihood becslés (MLE, Maximum Likelihood Estimation) egy statisztikai módszer, amelyet paraméterek becslésére használunk valószínűségi modellekben. Az MLE célja olyan paraméterértékek megtalálása, amelyek mellett a megfigyelt adatok előfordulásának valószínűsége maximális.

Lépések az MLE alkalmazásához:

1. Valószínűségi függvény: Tegyük fel, hogy van egy minta megfigyeléseinkről, amelyeket egy ismert valószínűségi eloszlásból vettünk, de nem ismerjük az eloszlás paramétereit. A valószínűségi függvény ${\textstyle L(\theta )}$ azt fejezi ki, hogy a paraméter (${\textstyle \theta }$) milyen valószínűséggel adja meg a megfigyelt adatok értékeit.

2. Maximum-likelihood függvény: A megfigyelt adatok alapján kiszámítjuk a valószínűségi függvényt, amely az összes megfigyelés együttes valószínűségét adja meg. Ez a likelihood függvény (valószínűségi függvény) a paraméter(ek) függvényében: $$L(\theta )=P(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\mid \theta )$$ ahol ${\textstyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ a megfigyelt adatok, és ${\textstyle \theta }$ a keresett paraméter vagy paraméterek.

3. Log-likelihood függvény: A valószínűségi függvényt gyakran átalakítjuk log-likelihood függvénnyé, mert a logaritmus segítségével könnyebb a maximális értéket megtalálni: $$\ell (\theta )=\log(L(\theta ))$$ Mivel a logaritmus monoton növekvő függvény, a maximumhelyek ugyanazok, mint az eredeti valószínűségi függvényé.

4. Maximalizálás: Az MLE-ben a cél az, hogy megtaláljuk azt a ${\textstyle \theta }$ paramétert, amely maximalizálja a likelihood függvényt. Matematikailag ez deriválással történik: megkeressük a függvény maximumát azáltal, hogy a log-likelihood függvényt deriváljuk a ${\textstyle \theta }$-ra nézve, majd a deriváltat nullával tesszük egyenlővé: $${\frac {d}{d\theta }}\ell (\theta )=0$$

5. Paraméter becslése: A deriválás és megoldás után megkapjuk azt a paramétert (vagy paramétereket), amely a maximális valószínűséget adja. Ez lesz a maximum-likelihood becslés a keresett paraméterre.

Példa:

Tegyük fel, hogy van egy minta, amelyet egy normális eloszlásból vettünk, és szeretnénk megbecsülni a normális eloszlás középértékét (${\textstyle \mu }$) és szórását (${\textstyle \sigma }$). A likelihood függvény a normális eloszlás esetén a következőképpen alakul:

$$L(\mu ,\sigma )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$$

Az MLE módszerrel meg kell keresni azt az ${\textstyle \mu }$ és ${\textstyle \sigma }$ értéket, amely maximalizálja ezt a függvényt. A log-likelihood függvényt maximalizálva kapjuk meg a következő becsléseket:

- ${\textstyle {\hat {\mu }}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ — azaz a mintaátlag, - ${\textstyle {\hat {\sigma ^{2}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\hat {\mu }})^{2}}$ — azaz a mintaszórás négyzete.

MLE tulajdonságai:

- Konzisztens: Nagy mintaméret esetén a maximum-likelihood becslés közelít a valódi paraméterhez. - Aszimptotikusan normális: Nagy mintánál a becslés normális eloszlást követ. - Hatásos: Nagy mintánál az MLE a legkisebb varianciájú becslést adja a lehetséges becslések közül.

Az MLE egy nagyon gyakori és hasznos módszer paraméterbecslésre különféle statisztikai modellekben.

• angol: maximum likelihood estimation (en)

További információk

• maximum-likelihood becslés - Értelmező szótár (MEK)
• maximum-likelihood becslés - Etimológiai szótár (UMIL)
• maximum-likelihood becslés - Szótár.net (hu-hu)
• maximum-likelihood becslés - DeepL (hu-de)
• maximum-likelihood becslés - Яндекс (hu-ru)
• maximum-likelihood becslés - Google (hu-en)
• maximum-likelihood becslés - Helyesírási szótár (MTA)
• maximum-likelihood becslés - Wikidata
• maximum-likelihood becslés - Wikipédia (magyar)