Thalész-tétel

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈthɒleːsteːtɛl]

Főnév

Thalész-tétel

1. (matematika)

Thalész-tétel

Definíció

A **Thalész-tétel** az euklideszi geometria egyik alapvető tétele, amely kimondja:

Ha egy háromszög köré írt kör átmérője a háromszög egyik oldalát alkotja, akkor a háromszög derékszögű, és a derékszög a kör átmérőjével szemközti csúcsnál található.

Matematikailag: Ha $AB$ a kör átmérője, és $C$ bármely pont a körön, akkor az $\triangle ABC$-ben $\angle ACB=90^{\circ }$.

Geometriai Értelmezés

- Egy $O$ középpontú kör esetén, ahol az $AB$ átmérő, és $C$ a körvonalon található:

 * $AC$ és $BC$ a kör sugarai.
 * Az $\triangle ABC$ háromszög derékszögű lesz, mivel $\angle ACB=90^{\circ }$.

Bizonyítás

1. Feltevések

- Legyen adott egy kör, amelynek középpontja $O$, átmérője $AB$, és egy $C$ pont a körvonalon. - Az $AB$ egyenesen és a $C$ ponttal alkotott $\triangle ABC$-ben azt kell bizonyítanunk, hogy $\angle ACB=90^{\circ }$.

2. Háromszög tulajdonságai

- Az $AC$ és $BC$ szakaszok a kör sugarai, így: $$OA=OB=OC=R,$$ ahol $R$ a kör sugara.

3. Szögszámítás

- Az $\triangle ABC$ egyenlő szárú háromszög, az $OA$ és $OB$ sugarak miatt. - Az $\angle ACB$ szög az átmérő tulajdonságai miatt: $$\angle ACB={\frac {1}{2}}\cdot 180^{\circ }=90^{\circ }.$$

4. Pitagorasz-tétel alkalmazása

- Az $\triangle ABC$-ben az $AB$ oldal átmérő, így: $$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}.$$

5. Következtetés

- Az $\triangle ABC$ háromszög derékszögű, és $\angle ACB=90^{\circ }$.

Példák

Példa 1: Egyszerű kör és háromszög

- Adott egy kör átmérője $AB=10$, és a körvonalon egy $C$ pont. Az $\triangle ABC$-ben:

 * $AC=6$, $BC=8$,
 * $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100$,
 * Ez megerősíti, hogy $\angle ACB=90^{\circ }$.

Példa 2: Tetszőleges pont a körvonalon

- Ha $C$ bármely pont a körön (nem az $AB$ átmérő végpontjai), akkor az $\triangle ABC$-ben mindig $\angle ACB=90^{\circ }$.

Fontos Következmények

1. **Derékszög és kör kapcsolata**:

  - Egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha a köré írt kör átmérője a háromszög egyik oldalát alkotja.

1. **Geometriai szerkesztések**:

  - A Thalész-tételt gyakran használják derékszög szerkesztésére körzővel és vonalzóval.

1. **Kör geometriája**:

  - A tétel a körvonalon lévő szögek fontos tulajdonságait hangsúlyozza.

Összegzés

A **Thalész-tétel** az euklideszi geometria egyik legismertebb tétele, amely a kör és a háromszög kapcsolatát írja le. Egyszerű bizonyítása ellenére a tétel alapvető szerepet játszik a geometriai problémák megoldásában és a matematikai tanulmányokban.

• angol: Thales's theorem (en)

További információk

• Thalész-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Thalész-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Thalész-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Thalész-tétel - DeepL (hu-de)
• Thalész-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Thalész-tétel - Google (hu-en)
• Thalész-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Thalész-tétel - Wikidata
• Thalész-tétel - Wikipédia (magyar)