automorfizmus

Magyar

automorfizmus

(matematika) Az absztrakt algebra csoportelmélet nevű ágában automorfizmus a neve az olyan bijektív leképezésnek, amely művelettartó és egy csoportot önmagára képez le.

Definíció: Legyen $G$ egy csoport, és legyen $\varphi :G\rightarrow G$ bijektív leképezés (azaz $G$ különböző elemeihez $\varphi$ különböző elemeket rendel, és $G$ minden eleme előáll $G$ valamely elemének képeként). Ezt a leképezést automorfizmusnak nevezzük, ha bármely $a,b\in G$ -re $\ \varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$ . Az automorfizmusok tehát olyan izomorfizmusok, amelyek egy csoportot önmagára képeznek le.

Tetszőleges csoportnak automorfizmusa az identikus leképezés, vagyis az a leképezés, amely minden elemhez saját magát rendeli. Ezt az automorfizmust szokás triviális automorfizmusnak nevezni.
A valós számok additív csoportjának automorfizmusa az a leképezés, amely minden valós számhoz a háromszorosát rendeli.
A sík egybevágóságai által alkotott csoportnak automorfizmusa az a leképezés, amely minden $S$ egybevágósághoz a $TST$ egybevágóságot rendeli, ahol $T$ egy adott egyenesre való tükrözés.