complex number

Angol

Főnév

complex number (tsz. complex numbers)

(matematika) komplex szám

A komplex szám a matematika egyik kulcsfogalma, amely lehetővé teszi a négyzetgyök és más algebrai műveletek kiterjesztését azokon a számokon túl, amelyeket valós számokként ismerünk. Komplex számok nélkül elképzelhetetlen lenne a modern fizika, elektromosságtan, mérnöki számítások, valamint a számítástechnika és a digitális jelfeldolgozás több területe is.

🔢 1. A komplex szám definíciója

A komplex szám formája:

$z=a+bi$

ahol:

a a valós rész (Re(z))
b az imaginárius rész (Im(z))
i az imaginárius egység, ahol:

$i^{2}=-1$

Példa:

$z=3+4i$

Ebben a = 3, b = 4.

🧮 2. Műveletek komplex számokkal

2.1 Összeadás

$(3+2i)+(1+4i)=(3+1)+(2i+4i)=4+6i$

2.2 Kivonás

$(5+3i)-(2+i)=(5-2)+(3i-i)=3+2i$

2.3 Szorzás

$(2+3i)(1+4i)=2+8i+3i+12i^{2}=2+11i+12(-1)=-10+11i$

2.4 Osztás

A nevezőt konjugáltal szorozzuk:

${\frac {3+2i}{1-i}}={\frac {(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}}={\frac {3+3i+2i+2i^{2}}{1^{2}-i^{2}}}={\frac {1+5i}{2}}$

🧲 3. Konjugált, abszolút érték, inverz

3.1 Konjugált

A z = a + bi konjugáltja:

${\bar {z}}=a-bi$

3.2 Abszolút érték (modul)

$|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Példa:

$|3+4i|={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5$

3.3 Inverz (reciprok)

${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}$

📐 4. Geometriai értelmezés (komplex sík)

Egy komplex számot felrajzolhatunk a Gauss-féle komplex síkon:

az x tengely a valós rész
az y tengely az imaginárius rész

Így minden komplex szám megfeleltethető egy pontnak vagy vektornak a síkon.

🔁 5. Polárformás ábrázolás

Minden komplex szám felírható polár alakban is:

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

vagy:

$z=re^{i\theta }$

ahol:

r = |z| a hossz
θ = arg(z) az argumentum (irány)

Euler-formula:

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

🧰 6. Komplex számok programozása

Python

z1 = complex(3, 4)     # 3 + 4i
z2 = complex(1, -2)    # 1 - 2i

print(z1 + z2)         # (4+2j)
print(abs(z1))         # 5.0

C++ (C++11-től)

#include <complex>
#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    complex<double> z1(3, 4);
    complex<double> z2(1, -2);
    auto sum = z1 + z2;
    cout << "Összeg: " << sum << endl;
    cout << "Abszolút érték: " << abs(z1) << endl;
}

⚡ 7. Alkalmazási területek

Terület	Használat
Elektrotechnika	Impedancia, áramkörök számítása
Fizika	Hullámmozgás, kvantummechanika
Digitális jelfeldolgozás	Fourier-transzformáció, szűrés
Fraktálok	Mandelbrot- és Julia-halmaz
Számítógépes grafika	Mozgatás, forgatás komplex síkban
Gépi tanulás / AI	Komplex aktivációfüggvények kutatása (újabb modellek)

🧠 8. Összefoglalás

A komplex számok a valós számok kibővítése, amelyek lehetővé teszik a √–1 típusú műveletek értelmezését és általánosítását. A komplex számok algebrai, geometriai és analitikus szempontból is gazdag struktúrával rendelkeznek, és a matematika, fizika, mérnöki tudományok, valamint a számítógépes alkalmazások számos területén központi szerepet játszanak.

További információk

complex number - Szótár.net (en-hu)
complex number - Sztaki (en-hu)
complex number - Merriam–Webster
complex number - Cambridge
complex number - WordNet
complex number - Яндекс (en-ru)
complex number - Google (en-hu)
complex number - Wikidata
complex number - Wikipédia (angol)