differential calculus

Angol

Főnév

differential calculus (tsz. differential calculuses)

(informatika) differenciálszámítás

A differenciálszámítás a matematikai analízis egyik fő ága, amely azzal foglalkozik, hogyan változnak a függvények, és hogyan határozható meg egy görbe meredeksége egy adott pontban.

A központi fogalom: derivált.

🧠 Mit vizsgál a differenciálszámítás?

Milyen gyorsan változik egy függvény?
Hol van egy görbének maximuma/minimuma?
Hol növekszik vagy csökken egy függvény?
Mekkora a pillanatnyi sebesség egy adott időpontban?

🧮 Alapfogalom: a derivált

🔹 Definíció

Egy függvény deriváltja azt mutatja meg, milyen gyorsan változik az értéke egy adott pontban.

Formálisan:

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

Ez a függvény érintőjének meredeksége az ${\textstyle x}$ pontban.

📈 Gépi példa – Meredekség

Ha:

$f(x)=x^{2}$

akkor:

$f'(x)=2x$

Tehát ${\textstyle x=3}$ esetén a meredekség:

$f'(3)=6$

Ez azt jelenti, hogy a függvény ott meredeken emelkedik.

🔧 Alapvető deriválási szabályok

Függvény	Deriváltja
${\textstyle c}$ (állandó)	0
${\textstyle x^{n}}$	${\textstyle nx^{n-1}}$
${\textstyle \sin x}$	${\textstyle \cos x}$
${\textstyle \cos x}$	${\textstyle -\sin x}$
${\textstyle e^{x}}$	${\textstyle e^{x}}$
${\textstyle \ln x}$	${\textstyle {\frac {1}{x}}}$

🧩 Deriválási szabályok

1. Összeg/különbség:

$(f+g)'=f'+g'\quad ;\quad (f-g)'=f'-g'$

2. Szorzat:

$(f\cdot g)'=f'g+fg'$

3. Hányados:

$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$

4. Láncszabály (chain rule):

$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

🎯 Gyakorlati alkalmazások

Terület	Alkalmazás
Fizika	Sebesség: ${\textstyle v(t)=s'(t)}$ , Gyorsulás: ${\textstyle a(t)=v'(t)}$
Gazdaság	Bevétel és költségváltozások vizsgálata
Biológia	Populációnövekedés üteme
Kémia	Reakciósebesség változása
Görbék elemzése	Érintők, szélsőértékek, monotonitás, konvexitás