differential calculus
Megjelenés
part of a series of articles about | ||||||
calculus | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Sablon:startflatlist | ||||||
|
||||||
|
||||||
|
||||||
specialized |
||||||
Főnév
differential calculus (tsz. differential calculuses)
A differenciálszámítás a matematikai analízis egyik fő ága, amely azzal foglalkozik, hogyan változnak a függvények, és hogyan határozható meg egy görbe meredeksége egy adott pontban.
A központi fogalom: derivált.
🧠 Mit vizsgál a differenciálszámítás?
- Milyen gyorsan változik egy függvény?
- Hol van egy görbének maximuma/minimuma?
- Hol növekszik vagy csökken egy függvény?
- Mekkora a pillanatnyi sebesség egy adott időpontban?
🧮 Alapfogalom: a derivált
🔹 Definíció
Egy függvény deriváltja azt mutatja meg, milyen gyorsan változik az értéke egy adott pontban.
Formálisan:
Ez a függvény érintőjének meredeksége az pontban.
📈 Gépi példa – Meredekség
Ha:
akkor:
Tehát esetén a meredekség:
Ez azt jelenti, hogy a függvény ott meredeken emelkedik.
🔧 Alapvető deriválási szabályok
Függvény | Deriváltja |
---|---|
(állandó) | 0 |
🧩 Deriválási szabályok
1. Összeg/különbség:
2. Szorzat:
3. Hányados:
4. Láncszabály (chain rule):
🎯 Gyakorlati alkalmazások
Terület | Alkalmazás |
---|---|
Fizika | Sebesség: , Gyorsulás: |
Gazdaság | Bevétel és költségváltozások vizsgálata |
Biológia | Populációnövekedés üteme |
Kémia | Reakciósebesség változása |
Görbék elemzése | Érintők, szélsőértékek, monotonitás, konvexitás |
📈 Függvényvizsgálat lépései differenciálszámítással
- Derivált kiszámítása:
- Zérushelyek keresése: → lehetséges maximum/minimum
- Előjelvizsgálat: hol pozitív/negatív → növekvő/csökkenő
- Második derivált (ha szükséges): → inflexiós pontok
🧪 Egyszerű példa: szélsőérték keresése
Legyen:
- Derivált:
- Állítsuk nullára:
- Második derivált: → pozitív → lokális minimum
⚠️ Fontos megjegyzés
A differenciálszámítás csak ott értelmezhető, ahol a függvény folytonos és sima (nincs ugrás, törés, függőleges érintő).
📚 Ha tovább szeretnél tanulni
- Integrálszámítás (a differenciálás inverz művelete)
- Multiváltozós differenciálszámítás (részderiváltak, gradiens)
- Differenciálegyenletek (változás leírása függvényként)
- differential calculus - Szótár.net (en-hu)
- differential calculus - Sztaki (en-hu)
- differential calculus - Merriam–Webster
- differential calculus - Cambridge
- differential calculus - WordNet
- differential calculus - Яндекс (en-ru)
- differential calculus - Google (en-hu)
- differential calculus - Wikidata
- differential calculus - Wikipédia (angol)