Ugrás a tartalomhoz

differential calculus

A Wikiszótárból, a nyitott szótárból

Főnév

differential calculus (tsz. differential calculuses)

  1. (informatika) differenciálszámítás

A differenciálszámítás a matematikai analízis egyik fő ága, amely azzal foglalkozik, hogyan változnak a függvények, és hogyan határozható meg egy görbe meredeksége egy adott pontban.

A központi fogalom: derivált.



🧠 Mit vizsgál a differenciálszámítás?

  • Milyen gyorsan változik egy függvény?
  • Hol van egy görbének maximuma/minimuma?
  • Hol növekszik vagy csökken egy függvény?
  • Mekkora a pillanatnyi sebesség egy adott időpontban?



🧮 Alapfogalom: a derivált

🔹 Definíció

Egy függvény deriváltja azt mutatja meg, milyen gyorsan változik az értéke egy adott pontban.

Formálisan:

Ez a függvény érintőjének meredeksége az pontban.



📈 Gépi példa – Meredekség

Ha:

akkor:

Tehát esetén a meredekség:

Ez azt jelenti, hogy a függvény ott meredeken emelkedik.



🔧 Alapvető deriválási szabályok

Függvény Deriváltja
(állandó) 0



🧩 Deriválási szabályok

1. Összeg/különbség:

2. Szorzat:

3. Hányados:

4. Láncszabály (chain rule):



🎯 Gyakorlati alkalmazások

Terület Alkalmazás
Fizika Sebesség: , Gyorsulás:
Gazdaság Bevétel és költségváltozások vizsgálata
Biológia Populációnövekedés üteme
Kémia Reakciósebesség változása
Görbék elemzése Érintők, szélsőértékek, monotonitás, konvexitás



📈 Függvényvizsgálat lépései differenciálszámítással

  1. Derivált kiszámítása:
  2. Zérushelyek keresése: → lehetséges maximum/minimum
  3. Előjelvizsgálat: hol pozitív/negatív → növekvő/csökkenő
  4. Második derivált (ha szükséges): → inflexiós pontok



🧪 Egyszerű példa: szélsőérték keresése

Legyen:

  1. Derivált:

  1. Állítsuk nullára:

  1. Második derivált: → pozitív → lokális minimum



⚠️ Fontos megjegyzés

A differenciálszámítás csak ott értelmezhető, ahol a függvény folytonos és sima (nincs ugrás, törés, függőleges érintő).



📚 Ha tovább szeretnél tanulni

  • Integrálszámítás (a differenciálás inverz művelete)
  • Multiváltozós differenciálszámítás (részderiváltak, gradiens)
  • Differenciálegyenletek (változás leírása függvényként)