lineáris regresszió

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈlinɛaːriʃrɛɡrɛsːijoː]

Főnév

lineáris regresszió

1. (matematika)

A statisztika eszköztárában a lineáris regresszió egy olyan paraméteres regressziós modell, mely feltételezi a magyarázó- (X) és a magyarázott (y) változó közti (paramétereiben) lineáris kapcsolatot. Ez azt jelenti, hogy lineáris regresszió becslése során a mintavételi adatok pontfelhőjére igyekszünk egyenest illeszteni.

A lineáris kapcsolat a következőképpen fejezhető ki:

$y=\beta _{0}+\beta _{1}x_{1}+\beta _{2}x_{2}+\cdots +\beta _{k}x_{k}+u=X\beta +u,$

ahol $y,u\in \mathbb {R} ^{n\times 1}$, $\beta \in \mathbb {R} ^{(1+k)\times 1}$ vektorok, $X\in \mathbb {R} ^{n\times (1+k)}$ mátrix, $x_{k}\in \mathbb {R} ^{n\times 1}$ vektor minden $k=1,\ldots ,k$-ra, $1+k$ a magyarázóváltozók száma (konstanssal együtt), $n$ a mintanagyság.

A lineáris regresszió becslése során a $\beta$ paramétervektort becsüljük a rendelkezésre álló mintából úgy, hogy az pl. az átlagos négyzetes hibát minimalizálja. A legegyszerűbb, és legáltalánosabb becslési módszer a legkisebb négyzetek módszere, azonban ez utóbbi nem tévesztendő össze a lineáris regresszió fogalmával, mivel lineáris regressziós egyenest más becslési módszerekkel is becsülhetjük, és a legkisebb négyzetek módszere nem csak lineáris regressziós modellek becslésére alkalmas.

A lineáris regressziós elemzést és becslést mindig elvégezhetjük, azonban az eredmények értelmezése a valós populációs összefüggésekre tett különböző feltételezések megtételéhez kötött.

A becsült lineáris regressziós egyenes többféleképpen értelmezhető:

• Értelmezhető deskriptív módon úgy, hogy ez az a lineáris függvény, ami a legjobban illeszkedik az adott ponthalmazra. Amennyiben az egyenest valóban illeszteni tudjuk, erre az értelmezésre mindig lehetőségünk van egyéb feltételezésektől függetlenül.
• Az előző ponthoz kapcsolódóan lehetőségünk van arra, hogy megbecsüljük, vagy előrejelezzük a magyarázott változó olyan értékét, amelyhez a mintában nem tartozik magyarázó változó érték. Ebben az esetben a lineáris regressziós egyenes adja a magyarázott változó legjobb lineáris közelítését a magyarázó változó adott értéke mellett.
• Értelmezhetjük úgy, hogy a regressziós egyenes egy átfogó képet ad arról, hogy y várhatóan hogyan változik X változásának hatására. Ez esetben a következőt mondhatjuk a lineáris regressziós becslés és a feltételes átlagfüggvény $E[y|X=X_{0}]=m(X_{0},\beta )$ kapcsolatáról:
  • Amennyiben a feltételes átlagfüggvény, $m(X,\beta )$ lineáris β-ban, akkor a becsült lineáris regressziós függvény egybeesik azzal, tehát az eredmények várható érték alapú értelmezése korrekt.
  • Amennyiben a feltételes átlagfüggvény nemlineáris, a becsült lineáris regressziós függvény a legjobb lineáris közelítése annak. Ez esetben ugyan a várható érték alapú értelmezés nem teljes mértékben korrekt, mégis hasznos, értelmezhető információval szolgálhatunk a becslés eredményeit vizsgálva és körültekintően értelmezve.

A magyarázóváltozók száma alapján megkülönböztetünk egyszerű vagy többszörös lineáris regressziót, az adatok X mátrixa pedig lehet véletlen vagy rögzített.

Fordítások

• angol: linear regression (en)