valós szám

A Wikiszótárból, a nyitott szótárból
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Flag of Hungary.svg Magyar

Főnév

valós szám

  1. (matematika) A valós számok azonosíthatók a számegyenes pontjaival, azaz a valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A valós számhalmaz jele (a ,,reális" szó kezdőbetűjéből) . Minden v valós szám felírható tizedestört alakban, azaz alakban, ahol e egy egész szám, míg a tizedesjegyek (0 és 9 közötti egészek). Különböző tizedestörtek is jelenthetik ugyanazt a valós számot, ez az ismétlődő 9-esek problémája. Például az 1 felírható alakban, de alakban is. (Szerencsére más ilyen típusú ,,kétértelműség" nem lép fel.) A valós számkör kétféleképpen építhető fel: vagy axiómákkal definiáljuk, vagy a (már megkonstruált) racionális számokból származtatjuk a valós számokat (pl. az ún. Dedekind-szeletekkel).
A valós számokat többféleképpen szokás (diszjunkt halmazokra) felosztani. Így minden valós szám vagy racionális, vagy irracionális. Minden valós szám vagy algebrai, vagy transzcendens. A természetes számok, egész számok mind racionális számok, így valós számok is. A valós számkör is tovább bővíthető azonban, egy ilyen bővítést a komplex számok adnak.

A valós számok egy modelljének nevezzük azt az R halmazt, amely tartalmaz két elemet (0 és 1), értelmezünk rajta két bináris műveletet (+ és *, összeadás és szorzás) és egy bináris relációt (≤), valamint ezek kielégítik a következő tulajdonságokat:

  1. testet alkot, azaz :
    • Asszociativitás: és
    • Kommutativitás: és
    • A szorzás disztributív az összeadásra nézve:
    • Additív semleges elem, a nullelem létezése:
    • Multiplikatív semleges elem, az egységelem létezése:
    • Additív inverz létezése:
    • Multiplikatív inverz létezése: ha , akkor
  2. R-en teljes rendezés ≤, azaz minden :
  3. Az összeadás és a szorzás kompatibilis a rendezéssel, azaz minden x, y, z-re az R-ből:
    • Ha x ≤ y, akkor x + z ≤ y + z
    • Ha 0 ≤ x és 0 ≤ y, akkor 0 ≤ x*y
  4. Minden nem üres részhalmazának ha van felső korlátja R-ben, akkor van legkisebb felső korlátja (szuprémuma) is R-ben.

Fordítások