A Wikiszótárból, a nyitott szótárból
Kiejtés Főnév valós szám
( matematika ) A valós számok
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
számegyenes pontjaival . A valós számok gyakran használt részhalmazai:
Racionális számok:
Q
=
{
…
,
−
2
1
,
−
1
2
,
−
1
1
,
0
,
1
1
,
1
2
,
2
1
,
1
3
,
…
}
=
{
p
q
|
p
∈
Z
,
q
∈
N
∖
{
0
}
}
{\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{\dots ,-{\tfrac {2}{1}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{1}},0,{\tfrac {1}{1}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{1}},{\tfrac {1}{3}},\dots \right\}=\left.\left\{{\tfrac {p}{q}}\right|p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} \setminus \{0\}\right\}}
Egész számok:
Z
=
{
…
,
−
2
,
−
1
,
0
,
1
,
2
,
…
}
{\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}}
Természetes számok:
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
{
1
,
2
,
3
,
…
}
{\displaystyle \{1,2,3,\dots \}}
{
0
,
1
,
2
,
3
,
…
}
{\displaystyle \{0,1,2,3,\dots \}}
N
0
{\displaystyle \mathbb {N} _{0}}
Irracionális számok:
R
∖
Q
{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }
A valós számok egy modelljének nevezzük azt az R halmazt , amely tartalmaz két elemet (0 és 1), értelmezünk rajta két bináris műveletet (+ és *, összeadás és szorzás) és egy bináris relációt (≤), valamint ezek kielégítik a következő tulajdonságokat:
(
R
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}
∀
x
,
y
,
z
∈
R
{\displaystyle \forall x,y,z\in \mathbb {R} }
Asszociativitás :
x
+
(
y
+
z
)
=
(
x
+
y
)
+
z
{\displaystyle x+(y+z)=(x+y)+z}
x
⋅
(
y
⋅
z
)
=
(
x
⋅
y
)
⋅
z
{\displaystyle x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z}
Kommutativitás :
x
+
y
=
y
+
x
{\displaystyle x+y=y+x}
x
⋅
y
=
y
⋅
x
{\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}
A szorzás disztributív az összeadásra nézve:
x
⋅
(
y
+
z
)
=
(
x
⋅
y
)
+
(
x
⋅
z
)
{\displaystyle x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z)}
Additív semleges elem, a nullelem létezése:
x
+
0
=
x
{\displaystyle x+0=x}
Multiplikatív semleges elem, az egységelem létezése:
x
⋅
1
=
x
{\displaystyle x\cdot 1=x}
Additív inverz létezése:
x
+
(
−
x
)
=
0
{\displaystyle x+(-x)=0}
Multiplikatív inverz létezése: ha
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
x
⋅
x
−
1
=
1
{\displaystyle x\cdot x^{-1}=1}
0
≠
1
{\displaystyle 0\neq 1}
R -en teljes rendezés ≤, azaz minden
∀
x
,
y
,
z
∈
R
{\displaystyle \forall x,y,z\in \mathbb {R} }
Reflexivitás : x ≤ xAntiszimmetria : ha x ≤ y és y ≤ x, akkor x = yTranzitivitás : ha x ≤ y és y ≤ z, akkor x ≤ zTeljesség : x ≤ y vagy y ≤ xAz összeadás és a szorzás kompatibilis a rendezéssel, azaz minden x, y, z-re az R -ből:
Ha x ≤ y, akkor x + z ≤ y + z
Ha 0 ≤ x és 0 ≤ y, akkor 0 ≤ x*y
Minden nem üres részhalmazának ha van felső korlátja R-ben, akkor van legkisebb felső korlátja (szuprémuma ) is R-ben. Fordítások Lásd még
