Poisson-eloszlás

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈpojiʃːonɛloslaːʃ]

Főnév

Poisson-eloszlás

1. (matematika, statisztika, valószínűségszámítás) A valószínűség-számításban és a statisztikában a Poisson-eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, a binomiális eloszlás határeloszlása. Kifejezi az adott idő alatt ismert valószínűséggel megtörténő események bekövetkezésének számát.

---

A Poisson-eloszlás a valószínűségszámítás és statisztika egyik alapvető diszkrét eloszlása, amely különösen jól alkalmazható ritka események modellezésére. Az alábbiakban részletesen bemutatom az eloszlás elméleti alapjait, tulajdonságait és alkalmazási területeit.

Mi a Poisson-eloszlás?

A Poisson-eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, amely megadja annak a valószínűségét, hogy egy adott időtartamon vagy téren belül egy bizonyos számú esemény történik, feltéve, hogy:

1. Az események előfordulása független.
2. Az események átlagos gyakorisága (λ, azaz várható érték) adott.
3. Egy adott időszakban (vagy térben) egyszerre csak egy esemény történhet.

Poisson-eloszlás matematikai definíciója

Ha $\xi$ Poisson-eloszlású valószínűségi változó, akkor annak lehetséges értékei az $\{0,1,2,\dots ,n,\dots \}$ természetes számok halmazából kerülnek ki. Az $n$-edik értékhez tartozó valószínűség kiszámítható a következő képlettel:

$P(\xi =k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},\quad k=0,1,2,\dots$

Az egyes elemek jelentése

• $\lambda >0$: Az események átlagos előfordulási gyakorisága (várható érték).
• $k$: Az események száma egy adott időszakban vagy térben.
• $e$: Az Euler-féle szám ($e\approx 2,71828$).
• $k!$: $k$-faktoriális, ami a pozitív egész számok szorzata $1$-től $k$-ig.

A Poisson-eloszlás tulajdonságai

1. Várható érték és szórásnégyzet: $M(\xi )=D^{2}(\xi )=\lambda .$

Ez azt jelenti, hogy a várható eseményszám $\lambda$, és a szórás ($\sigma$):

$D(\xi )={\sqrt {\lambda }}.$

1. Diszkrét eloszlás: Az $\xi$ által felvehető értékek nem folytonosak, hanem a természetes számok halmazához tartoznak.
2. Függetlenség: Az események függetlenek, vagyis az egyik esemény bekövetkezése nem befolyásolja a másik valószínűségét.
3. Ritka események modellezése: A Poisson-eloszlás különösen akkor hasznos, ha ritkán bekövetkező, de adott időintervallumra vagy térbeli egységre jellemző események gyakoriságát akarjuk elemezni.

A Poisson-eloszlás alkalmazási területei

1. Események időbeli modellezése:
   • Telefonhívások érkezése egy ügyfélszolgálathoz adott időtartam alatt.
   • Meteoritok becsapódása egy adott földrajzi területen.
   • Az érkező ügyfelek száma egy boltba óránként.
2. Események térbeli eloszlása:
   • Hibák száma egy gyártósorról származó termékben (pl. egy szövetdarabon található hibák).
   • Csillagok eloszlása egy bizonyos térbeli egységben az űrben.
3. Egészségügyi és biológiai alkalmazások:
   • Rákos megbetegedések száma egy populációban egy adott időszak alatt.
   • Mutációk száma egy DNS-szekvenciában adott hosszúságon belül.
4. Közlekedési folyamatok:
   • Egy adott útszakaszon áthaladó autók száma egy adott időtartam alatt.
   • Vonatok késéseinek száma egy adott napon.
5. Várakozási sorok elemzése:
   • Egy ügyfélszolgálati pultnál megjelenő ügyfelek száma egy adott időszakban.

Kapcsolat más eloszlásokkal

1. Binomiális eloszlás és Poisson-eloszlás kapcsolata: Ha a binomiális eloszlásban $n\to \infty$, $p\to 0$, és $np=\lambda$, akkor a binomiális eloszlás Poisson-eloszlással közelíthető.
2. Exponenciális eloszlás: A Poisson-eloszlás az események számát adja meg egy adott időszak alatt, míg az exponenciális eloszlás az események közötti időtartamokat modellezi.

Példák a Poisson-eloszlásra

Példa 1: Telefonhívások száma

Egy ügyfélszolgálati központ átlagosan $\lambda =5$ hívást kap percenként. Mennyi a valószínűsége, hogy egy adott percben pontosan 3 hívást kapnak?

Megoldás: $P(\xi =3)={\frac {\lambda ^{3}e^{-\lambda }}{3!}}={\frac {5^{3}e^{-5}}{6}}\approx 0.1404.$

Példa 2: Hibák egy szövetdarabon

Egy gyártósor egy négyzetméter anyagon átlagosan $\lambda =2$ hibát produkál. Mennyi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott négyzetméteren nem található hiba?

Megoldás: $P(\xi =0)={\frac {\lambda ^{0}e^{-\lambda }}{0!}}=e^{-2}\approx 0.1353.$

A Poisson-eloszlás előnyei és korlátai

Előnyök

1. Egyszerű modell ritka eseményekhez.
2. Könnyen alkalmazható nagy $n$-esetekben (nagy elemszámú populációk).
3. Jó közelítést ad számos valós életbeli jelenségre.

Korlátok

1. Feltételezi az események függetlenségét, ami nem mindig teljesül.
2. Nem használható akkor, ha az események valószínűsége időben vagy térben változik.
3. Csak diszkrét értékeket vesz fel, ezért folytonos jelenségeknél nem alkalmazható.

Fordítások

• angol: Poisson distribution (en)
• cseh: Poissonovo rozdělení (cs) sn
• olasz: distribuzione di Poisson (it)
• orosz: распределение Пуассона (ru) (raspredelenije Puassona)
• román: distribuție Poisson (ro) nn
• svéd: Poissonfördelning (sv) kn

További információk

• Poisson-eloszlás - Értelmező szótár (MEK)
• Poisson-eloszlás - Etimológiai szótár (UMIL)
• Poisson-eloszlás - Szótár.net (hu-hu)
• Poisson-eloszlás - DeepL (hu-de)
• Poisson-eloszlás - Яндекс (hu-ru)
• Poisson-eloszlás - Google (hu-en)
• Poisson-eloszlás - Helyesírási szótár (MTA)
• Poisson-eloszlás - Wikidata
• Poisson-eloszlás - Wikipédia (magyar)